Effetto tunnel

EFFETTO TUNNEL

Consideriamo una particella con una certa energia E (che proviene da sinistra rispetto al nostro sistema di riferimento della figura); per la fisica classica tale particella non può superare zone che abbiano energia maggiore. Nella fisica quantistica invece vi è un fenomeno noto come effetto tunnel (è un tipico fenomeno quantistico): se una particella con energia E incontra una barriera di potenziale Vb maggiore della propria energia E, vi è una probabilità ≠ 0 che la particella possa attraversare tale barriera di potenziale.

Per capire ciò bisogna risolvere l’equazione di Schrodinger considerando una particella che provenendo da sinistra attraversa la barriera di potenziale; possiamo considerare tre zone:

barriera di potenzialea) x < – b: zona a potenziale nullo con energia E < Vb (equazione di Schrodinger di una particella libera);

b) x < |b|: zona a potenziale Vb che forma la barriera di potenziale;

c) x > +b: zona a potenziale nullo (equazione di Schrodinger di una particella libera).

Nelle zone a potenziale nullo l’equazione di Schrodinger di una particella libera è:

=>

Nelle zone a potenziale Vb l’equazione di Schrodinger è:

=>

Risolvendo separatamente l’equazione di Schrodinger nelle tre zone si ottengono le seguenti soluzioni:

a) nella zona ad x < – b abbiamo la somma di due onde piane, onda incidente (quella con l’esponenziale positivo) + onda riflessa (quella con l’esponenziale negativo):

ψ(x) = A e+ i k x + B e – i k x

b) nella zona ad x < |b| la funzione d’onda decresce (conta di più l’esponenziale negativo):

ψ(x) = C e+λx + D e –λx

c) nella zona ad x > + b vi è soltanto l’onda trasmessa (e quindi c’è solo l’esponenziale positivo perché stiamo stiamo considerando che non ci siano particelle che tornano indietro dall’infinito):

ψ(x) = F e+ i k x

Il punto b) ci dice che c’è una probabilità (quadrato del modulo della funzione d’onda) di trovare la particella nella zona della barriera di potenziale. Tale probabilità diminuisce man mano che si attraversa la barriera di potenziale, ma non essendo una barriera di lunghezza infinita, tale esponenziale non sarà nullo in x = +b. Perciò nella zona c) in corrispondenza di x > b la funzione d’onda non è nulla, dovendo essere una funzione continua. Quindi nel lato destro della barriera di potenziale c’è ancora una funzione d’onda e quindi c’è una certa probabilità di trovare la particella in quella zona.

Perciò, poiché la funzione d’onda non è zero, c’è una certa probabilità (coefficiente di trasmissione) che la particella che proviene da sinistra possa attraversare la barriera di potenziale:

T = |F|2/|A|2

Secondo la meccanica classica, una particella con energia E non può mai trovarsi in una zona ad energia potenziale maggiore perché per il principio di conservazione dell’energia la sua energia cinetica dovrebbe essere negativa e ciò non può essere. Per la fisica quantistica, invece, poiché vale il principio di indeterminazione e poiché la particella ha un’energia totale E fissata ma la sua energia cinetica (E=p2/2m) e la sua energia potenziale (che dipende dalla posizione) non sono determinate contemporaneamente perché non è possibile avere posizione ed impulso simultaneamente determinati. Quindi non è vero che la sua energia è minore dell’energia potenziale perché la sua energia potenziale, che dipende dalla posizione, e la sua energia energia cinetica, che dipende dall’impulso, non sono simultaneamente e completamente determinati.

In generale, per l’effetto tunnel, si può trovare che il coefficiente di trasmissione è piccolo, dipende dalla lunghezza della barriera e dalla differenza fra l’energia della particella e la barriea di potenziale; ciò è riassunto dall’approssimazione WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin):

Se la barriera è stretta allora la probabilità di attraversare la barriera aumenta, all’aumentare della lunghezza della barriera tale probabilità diminuisce. La probabilità aumenta se è piccola la differenza fra l’energia della particella e il potenziale della barriera. Se tale energia diminuisce rispetto alla barriera di potenziale, diminuisce anche la probabilità che riesca ad attraversarla (probabilità dell’effetto tunnel).

Un esempio di dispositivo che funziona grazie all’effetto tunnel è il transistor.

Prof. Vito Egidio Mosca

Imparare la Fisica

Pubblicato da impararelafisica

Come è bello conoscere tante cose e non saperne altre, ma è ancora più bello scoprirne delle nuove anche se già scoperte da altri. Mosca Vito Egidio, Docente di Matematica e Fisica, Liceo Scientifico. Vincitore del Premio Antonella Bastai Prat 2009 dell'AIF. Vincitore del Premio Antonella Bastai Prat 2016 dell'AIF.