Premesse alla relatività ristretta di Einstein.
Per imparare la fisica ed in particolare la relatività ristretta di Einstein
occorrono alcune premesse che fanno parte della fisica classica:
1) Che cos’è il principio di inerzia?
Il principio di inerzia fu enunciato per la prima volta da Galileo, poi fu ripreso da Newton ed oggi è noto come primo principio della dinamica (o prima legge di Newton):
se la somma vettoriale delle forze che agiscono su di un corpo è zero allora:
- se il corpo è fermo, continua a rimanere fermo;
- se il corpo è in movimento con velocità costante, continua a muoversi con velocità costante.
Se Marco è seduto su un treno che viaggia a velocità costante (v = cost) e poggia un bicchiere sul tavolino cosa osserverà? Dal suo sistema di riferimento (dal suo punto di vista) Marco osserverà che la somma delle forze che agiscono sul bicchiere è nulla e il bicchiere è fermo, così come previsto dal principio di inerzia.
Se Luca è seduto al bar della stazione (v = 0 m/s) e poggia un bicchiere sul tavolino cosa osserverà? Dal suo sistema di riferimento (dal suo punto di vista) Luca osserverà che la somma delle forze che agiscono sul bicchiere è nulla e il bicchiere è fermo, così come previsto dal principio di inerzia.
Perciò essere fermi o muoversi con velocità costante sono due situazioni che si equivalgono.
2) Che cos’è un sistema di riferimento inerziale?
Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento in cui vale il principio di inerzia.
Nell’esempio di prima entrambi i sistemi sono sistemi di riferimento inerziali.
In particolare possiamo affermare che: ogni sistema di riferimento fermo o in moto con velocità costante rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento inerziale. Inoltre, se un oggetto si muove con velocità costante in un sistema di riferimento inerziale, possiamo prendere un altro sistema di riferimento inerziale che si muove con la stessa velocità dell’oggetto e considerare l’oggetto fermo. E’ per questo che non c’è differenza tra un sistema di riferimento inerziale fermo ed un sistema di riferimento inerziale in moto con velocità costante. Possiamo quindi affermare che un sistema di riferimento inerziale in quiete ed un sistema di riferimento inerziale in moto con velocità costante rispetto all’altro si equivalgono.
3) Cosa afferma la legge fondamentale della dinamica?
La legge fondamentale della dinamica o seconda legge di Newton afferma che se ad un oggetto di massa m applico una forza F esso si muoverà con un’accelerazione
a = F/m
la formula con cui è nota tale legge è:
F = m a
4) Trasformazioni galileiane e composizione delle velocità
Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali S e S’ perfettamente sovrapposti all’istante t = 0 s. Supponiamo che S’ si muova con velocità v rispetto ad S; dopo un certo intervallo di tempo t il sistema si sarà spostato di un tratto (v · t):
Un determinato fenomeno caratterizzato da x’, y’, z’ e t’ nel sistema di riferimento S’ (di colore blu), sarà caratterizzato dalle seguenti coordinate nel sistema di riferimento S (di colore nero) note come trasformazioni galileiane:
-
t = t’
-
x = x’ + vt
-
y = y’
-
z = z’
A queste possiamo anche aggiungere la seguente:
m = m’ (concetto di massa assoluta)
Se nel sistema S’ ho un corpo in moto con velocità
v’1 = Δx’ / Δt’ (v’1 = dx’ / dt’)
che velocità avrà nel sistema S?
v1 = Δx / Δt
utilizzando le trasformazioni di Galileo (x = x’ + vt) troviamo che
v1 = Δ(x’ + vt) / Δt
poiché v = cost
v1 = Δx’/Δt’ + vΔt / Δt =>
v1 = v’1 + v
La precedente è nota come legge di composizione delle velocità.
5) Relatività galileiana ed il concetto di invariante
Supponiamo di osservare un moto con accelerazione a’1 (ad es. nel verso positivo delle x’) nel sistema S’ che si muove con velocità v = costante (ad es. nel verso delle x crescenti), quanto varrà l’accelerazione nel sistema S in quiete?
Sappiamo che:
a = dv1 /dt
Dalla legge di composizione delle velocità (v1 = v’1 + v) e ricordando che v = cost => dv/dt = 0 (e che t = t’):
a = dv1 /dt = d(v’1 + v)/dt = dv’1 /dt + dv/dt =>
=> a1 = dv’1 /dt = a’1
=> a1 = a’1
Se un corpo nel sistema S’ è soggetto ad una forza
F’1 = m’ a’1
nel sistema S sarà soggetto ad una forza:
F1 = m a1
e poiché
m = m’ e a1 = a’1
le forze nei due sistemi di riferimento inerziali sono uguali:
F1 = m a1 = m’ a’1 = F’1
Cioè la legge fondamentale della dinamica (F = m a) è invariante (ha la stessa forma) rispetto alle trasformazioni galileiane (la forma delle equazioni non dipende dal sistema di riferimento).
Due osservatori in due sistemi di riferimento inerziali misureranno quindi le stesse forze e le stesse accelerazioni.
Arriviamo dunque alla relatività galileiana (non riguarda i fenomeni elettromagnetici):
le leggi della meccanica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Per comprendere meglio tale concetto facciamo il seguente ragionamento.
Supponiamo di essere in un treno che viaggia a velocità costante e vediamo una persona seduta di fronte a noi, un bicchiere d’acqua e le chiavi di casa sul tavolino. Abbassiamo la tendina dei finestrini che ci fanno vedere all’esterno e ci addormentiamo. Quando ci svegliamo ed apriamo gli occhi osserviamo la persona di fronte a noi che si è addormentata anche lei, il nostro bicchiere fermo sul nostro tavolino con l’acqua perfettamente ferma al suo interno; sbadatamente con la mano facciamo cadere le chiavi che erano sul tavolino che cadono a terra esattamente lungo la verticale. Una persona cammina lungo il corridoio del treno con una valigia ed allora pensiamo di essere fermi alla stazione. Decidiamo di alzare la tendina del finestrino e ci accorgiamo invece che il treno sta viaggiando a velocità costante.
Un altro modo per esprimere la relatività galileiana è dunque il seguente: nessun esperimento eseguito all’interno di un dato sistema di riferimento può evidenziare il moto rettilineo uniforme dello stesso sistema.
L’invarianza delle leggi di Newton per le trasformazioni di Galileo costituisce la traduzione matematica del principio di relatività galileiana.
Cosa mise in dubbio il principio di relatività galileiana?
Nel 1873 vennero pubblicate le equazioni di Maxwell del campo elettromagnetico; esse però non sono invarianti per le trasformazioni di Galileo! Le equazioni di Maxwell prevedono che la velocità della luce nel vuoto è c = 300 000 km/s. Ma se mi muovessi con velocità v, secondo la legge di composizione delle velocità dovrei misurare una velocità della luce pari a c + v. Ma così non è! Per comprendere meglio perché con la luce non è valida la legge di composizione della velocità dobbiamo introdurre la teoria della relatività ristretta di Einstein.
