CAMPO ELETTRICO DI UNA SFERA CARICA

Consideriamo una distribuzione uniforme di carica in una sfera (un volume sferico) di raggio R

Per i punti esteri (r > R) il campo elettrico è lo stesso di una distribuzione superficiale sferica di carica:

E = 1/(4πε₀) · Q/r²

Per i punti interni (r < R):

considero una piccola superficie ΔS e il campo elettrico E, i due vettori sono paralleli (stessa direzione e stesso verso) e il flusso ΔΦ(E) = E ΔS. Il flusso totale è dato dalla somma di tutte queste quantità:

Φ_S(E) = ∑_i ΔΦ(E)_i = ∑_i (E ΔS_i)

Essendo il modulo di E costante (perché r è costante):

Φ_S(E) = E ∑_i (ΔS_i) = E 4πr² =>

=> Φ_S(E) = E 4πr²

Dal teorema di Gauss sappiamo che

Φ_S(E) = Q_INT/ε₀

Per calcolare la carica totale interna alla superficie sferica di raggio r, occorre fare la seguente proporzione:

Q : V_TOT = Q_INT : V_INT => Q_INT = V_INT / V_TOT · Q

Poiché

V_INT = 4/3 π r³

V_TOT = 4/3 π R³

Q_INT = 4/3 π r³ / (4/3 π R³) · Q => Q_INT = r³ /R³ · Q

Perciò:

Φ_S(E) = r³ /R³ · Q/ε₀

Essendo Φ_S(E) = E 4πr²:

E 4πr² = r³ /R³ · Q/ε₀

E = 1/(4πε₀R³) · Q r

che rappresenta una retta passante per l’origine.

OSSERVAZIONE: il campo elettrico dipende da tutte le cariche, anche da quelle esterne ma solo quelle interne alla superficie generano un flusso ≠ 0.

Per r = R si ha continuità:

E = 1/(4πε₀R²) · Q

Prof. Vito Egidio Mosca

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