Esercizi (crisi della fisica classica)
Per fare degli esercizi devono essere note alcune costanti:
me = 9,109 · 10-31 kg
h = 4,136 · 10-15 eV · s = 6,626 · 10-34 J · s
ħ = h / 2π = 6,582 · 10-16 eV · s = 1,055 · 10-34 J · s
raggio di Bohr = r0 = ħ2 /(m e2) = 0,53 · 10–8 cm = 0,53 angstrom
costante di Rydberg R = 13,6 eV= 2,179 · 10-18 J
costante di Boltzmann = 1,38 · 10-23 J/K
velocità della luce c = 3 · 108 m/s
Bisogna saper fare alcune conversioni:
1 eV = 1,602 · 10-19 J
Bisogna sapere calcolare la velocità di un elettrone conoscendo l’energia in eV:
dove Ec sono eV
Bisogna sapere alcune formule:
ω = 2π/T = 2π f => f = ω / 2π
c = λ f
Raggio dell’orbita nel modello di Bohr: r = n2 r0
lunghezza d’onda di De Broglie: λ = h/p =h/(mv)
Raggio dell’orbita quantizzata: 2π r = n λ
Energia del fotone: E = ħω = h f (ħω = h ω/2π = h f)
Energia del fotone emessa o assorbita: E = ħω = h f = R (1/m2 – 1/n2)
Massimi di interferenza (esperimento di ce Germer): 2 a sinθ = n λ con n = 0, 1, 2 …
Energia elettrone emesso: Eel = ħ ω – L = h f– L ≥ 0 con L = lavoro di estrazione (funzione lavoro)
La frequenza visibile è tra 4,28 · 1014 e 7,49 · 1014 Hz
Esercizio 1)
Calcolare il raggio dell’orbita nel modello di Bohr corrispondente a n=3?
r = n2 r0 = 9 · 5,29 · 10-11 m = 9 · 0,53 angstrom = 4,77 angstrom
Esercizio 2)
Quanto vale la lunghezza d’onda di De Broglie di un elettrone con energia cinetica di 50 eV
λ = h/(mv)
50 eV = 50 · 1,602 · 10-19 J = 8,01 · 10-18 J
1/2 m v2 = Ec => v = (2Ec /m)1/2 => mv = (2mEc )1/2 =>
λ = 6,626·10-34/(2· 9,109 · 10-31· 8,01 · 10-18 )1/2 = 1,7 · 10-10 m = 0,17 nm
Esercizio 3)
Utilizzando il modello di Bohr, calcola a quale frequenza viene emesso un fotone da un elettrone che passa dall’orbita n = 3 all’orbita n = 2
ħω = h f = R (1/m2 – 1/n2) => f = R (1/m2 – 1/n2) / h
R = 13,6 eV
h = 4,136 · 10-15 eV·s
ω = 2π/T = 2π f => f = ω / 2π = 13,6 eV (1/4 – 1/9) / (4,136 · 10-15 eV·s)= 4,57 · 1014 Hz
Esercizio 4)
Un fascio di elettroni con energia cinetica 50 eV viene inviato su un cristallo (Davisson e Germer) in cui la distanza tra i piani del reticolo cristallino è a=0.091 nm. Per quale angolo si osserverà il primo massimo di interferenza costruttiva?
2 a sinθ = n λ
λ = h/(mv)
50 eV = 50 · 1,602 · 10-19 J = 8,01 · 10-18 J
1/2 m v2 = Ec => v = (2Ec /m)1/2 => mv = (2mEc )1/2 =>
λ = 6,626·10-34/(2· 9,109 · 10-31· 8,01 · 10-18 )1/2 = 1,7 · 10-10 m
θ = sin-1 (1,7 · 10-10/(2· 0.091· 10-9)) = 69°
Esercizio 5
Con quale tipo di radiazione iniziamo ad osservare fotoelettroni se il metallo ha una funzione di lavoro di 4.4 eV?
Eel = ħ ω – L = h f – L ≥ 0
L = 4,4 eV = 4,4 · 1,602 · 10-19 = 7,0488· 10-19 J
h = 6,626 · 10-34 J ·s
La condizione limite si ha per: h f – L=0 => f = L/h = 7,0488· 10-19/ 6,626 · 10-34 = 1,06 · 1015 Hz
Ultravioletto
Esercizio 6
Calcola la lunghezza d’onda di De Broglie dell’elettrone in un atomo di idrogeno nello stato fondamentale
2π r = n λ
n = 1
r = r0 = 0,53 angstrom
λ = 2π · 0,53= 3,33 angstrom = 3,33 · 10−10 m
Esercizio 7
Calcolare la lunghezza d’onda di De Broglie di un elettrone che si muove con velocità di 2⋅105
m/s.7
h = 6,626 · 10-34 J ·s
me = 9,109 · 10-31 kg
λ = h/p =h/(mv) =3,64 · 10-9 m
