Flusso del campo elettrico E –

teorema di Gauss per E

Prima di definire il flusso del campo elettrico dobbiamo introdurre il vettore superficie.

Data una superficie, la cui area la indichiamo con S, il vettore superficie ha direzione perpendicolare alla superficie e di modulo pari al valore della superficie; tale vettore è indicato con la lettere S. Se la superficie è chiusa, il verso è uscente dalla superficie altrimenti non c’è una particolare convenzione.

Si definisce flusso Φ del campo elettrico E attraverso una superficie S la grandezza scalare:

Φ_s(E) = E ⋅ S

Φ_s(E) = E S cosθ

dove θ è l’angolo tra i vettori E ed S.

L’unità di misura del flusso è [V/m ⋅ m²] = [V m].

Consideriamo una carica puntiforme Q ed una superficie sferica S, sappiamo che il campo E è radiale. Se consideriamo una piccola superficie ΔS, il campo E sarà perpendicolare a tale superficie e quindi sarà parallelo al vettore ΔS

Quindi il flusso ΔΦ = E ΔS. Il flusso complessivo sarà dato perciò dalla somma di tutti i singoli flussi:

Φ_s(E) = ∑ΔΦ = ∑E ΔS = E ∑ΔS = E 4πr².

Poiché il campo elettrico di una carica puntiforme è E = 1/4πε₀ ⋅ Q/r², il flusso di una carica puntiforme è:

Φ_s(E) = Q/ε₀

In generale, se ho più cariche interne, il flusso dipende soltanto dalla somma algebrica delle cariche interne (prese con il proprio segno) diviso la costante dielettrica del vuoto:

Φ_s(E) = Q_{TOT INT}/ε₀

Si noti che:

1. il flusso è indipendente da r;
2. dipende soltanto dalla somma delle cariche interne alla superficie chiusa;
3. il flusso non dipende dalla forma della superficie che racchiude le cariche;
4. se la somma delle cariche è positiva ci sarà un flusso complessivo (delle linee di forza) uscenti (viceversa entranti).

Se una carica è esterna alla superficie, le linee di forza entrano nella superficie ed escono dalla superficie stessa; quindi il suo contributo complessivo al flusso è nullo.

La relazione

Φ_s(E) = Q_{TOT INT}/ε₀

prende il nome di teorema di Gauss per il campo elettrico E.

A cosa serve il teorema di Gauss per il campo elettrico?

Sappiamo che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è radiale e vale

E = 1/4πε₀ ⋅ Q/r²

E se la carica è distribuita su un filo, su un piano, su una sfera … quanto vale il campo elettrico? Per rispondere a tale domanda si utilizza il teorema di Gauss per il campo elettrico E.

Prof. Vito Egidio Mosca

Imparare la Fisica