EQUAZIONE DI SCHRODINGER

L’equazione di Schrodinger (1926) rappresenta l’equazione fondamentale della fisica quantistica (è la teoria che è considerata corretta per descrivere il mondo atomico).

Nei precedenti articoli abbiamo imparato che una particella libera di muoversi (come abbiamo ad es. visto per un fascio di elettroni che attraversano una doppia fenditura) si comporta come un’onda piana ed è descritta dall’ampiezza di probabilità (funzione d’onda φ(x)).

La funzione d’onda per un’onda piana è:

ψ(x,t) = A e ^{i (kx — ωt)}

Con Einstein abbiamo appreso che l’energia di un fotone è E = ħ ∙ ω. Tale relazione tra la frequenza (pulsazione) e l’energia vale in generale per qualunque particella libera, quindi anche per un elettrone.

Con De Broglie abbiamo invece appreso che la relazione tra l’impulso e il vettore d’onda è p = ħ ∙ k.

Poiché ω = E / ħ e k = p / ħ, sostiturendo nella funzione d’onda abbiamo:

ψ(x,t) = A e ^{i (px/ ħ — Et/ ħ)}  = A e ^{i / ħ  (px  — Et)}

La funzione d’onda è utile perché se facessi la derivata parziale della funzione d’onda rispetto al tempo otteniamo l’energia della particella libera: E = i ħ ∂ψ/∂t (è l’energia della funzione d’onda)

Facendo, invece, la derivata parziale rispetto allo spazio x otteniamo l’impulso: p = – i ħ ∂ψ/∂x.

Per una particella libera non relativistica, sappiamo che E = 1/2 m v² = p²/(2m) e quindi

E = p²/(2m)

Sostituendo E = i ħ ∂ψ/∂t e p² si ottiene l’equazione differenziale:

i ħ ∂ψ/∂t = – ħ²/(2m) ∂²ψ/∂x²

Quindi l’onda piana che descrive una particella libera non relativistica è la soluzione di quest’equazione differenziale.

In generale, se la particella non è libera di muoversi ma è immersa in un campo di forze esterne, l’energia non sarà solo cinetica ma anche potenziale: E = p²/(2m) + E_p(x).

In questo modo si ottiene l’equazione di Schordinger (dipende sia dallo spazio che dal tempo):

Ad es. la funzione d’onda della particella libera è:

Facendone la derivata rispetto al tempo otteniamo l’energia E = i ħ ∂ψ/∂t.

Facendo la derivata di ψ e sostituendo nell’equazione di Schrodinger dipendente dal tempo, si ottiene l’equazione di Schrodinger indipendente dal tempo:

Prof. Vito Egidio Mosca

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