ESERCIZI (PRINCIPI DI MECCANICA QUANTISTICA)
me = 9,109 · 10-31 kg
ħ = h / 2π = 6,582 · 10-16 eV · s = 1,055 · 10-34 J · s
1 eV = 1,602 · 10-19 J
Sicuramente è necessario conoscere come si sommano due onde in caso di interferenza da doppia fenditura.
Se l’onda 1 ha intensità I1 = A12 e fase θ1, l’onda 2 ha intensità I2 = A22 e fase θ2, l’intensità della risultante è data da:
I = A12 + A22+ 2 A1 A2cos(θ1 – θ2)
Inoltre può essere utile ricordare il principio di indeterminazione di Heisenberg:
∆x∆p ≥ ћ/2
Esercizio 1)
Due onde che attraversano due fenditure arrivano sullo schermo con le seguenti condizioni: ampiezza A1 = 3 e fase θ1 = π/3, ampiezza A2 = 4 e fase θ2 = π/4. Quanto vale l’intensità dell’interferenza?
π/3 = 60°
π/4 = 45°
I = A12 + A22+ 2 A1 A2cos(θ1 – θ2) = 9 + 16 + 24 cos(15°) = 48,18
Esercizio 2)
Conoscendo l’indeterminazione sulla posizione di una particella, cosa puoi conoscere con il principio di indeterminazione?
Dal principio di indeterminazione di Heisenberg sappiamo che ∆x∆p ≥ ћ/2 => ∆p ≥ ћ/(2∆x).
Cioè possiamo conoscere soltanto il limite inferiore dell’indeterminazione sull’impulso della particella.
Esercizio 3)
Una particella ha funzione d’onda φ(x) = A per x∈[1,2] e φ(x) = 2A per x∈[3,4]. Determinare A. Qual è la probabilità di trovare la particella nella posizione x∈[1,2] e x∈[3,4]?
Poiché la certezza (nella probabilità) è 1, questo vuol dire che la somma di tutte le probabilità deve essere 1. Poiché l’ampiezza è legata alla probabilità, deve essere:
A2 + (2A)2 = 1 => A = 1/51/2
Quindi la probabilità di trovare la particella tra 1 e 2 è A2 = 1/5 che corrisponde al 20%.
La probabilità di trovare la particella tra 3 e 4 è (2A)2 = 4/5 che corrisponde all’80%.
Esercizio 4)
Di un elettrone sappiamo che l’indeterminazione relativa sull’impulso è di 10-5 e che è confinato in un segmento di lunghezza Δx = 10-6 m. Calcola la sua energia cinetica.
Ec = 1/2 me v2
Quindi occorre calcolare la sua velocità.
Se indichiamo con Δp l’indeterminazione sull’impulso, l’indeterminazione relativa è Δp/p = 10-5 (è un numero puro). Quindi possiamo ricavare:
Δp = 10-5 p
Dal principio di indeterminazione di Eisenberg sappiamo che ∆x ∆p ≥ ћ/2, nel minimo inferiore abbiamo che
∆x ∆p = ћ/2 => 10-6 ·10-5 p = ћ/2 => p = ћ/(2 · 10-11) =>
=> v = ћ · 1011/(2me) = 1,055 · 10-34 · 1011/(2 · 9,109 · 10-31) =
Quindi Ec = 1/2 me v2 = 1,527 · 10-17 J = 95,3 eV
Esercizio 5)
In che senso l’indistiguibilità tra particelle della stessa specie è legata al principio di indeterminazione?
Con il principio di indeterminazione cade il concetto di traiettoria della fisica classica. Quindi se ad esempio distinguo due particelle e le indico con a) e b), dopo un intervallo di tempo non ho più la possibilità di distinguerle (non potendo conoscere le loro traiettorie) ed è quindi impossibile, anche in linea di principio, distinguere due particelle della stessa specie sulla base del loro moto.
Esercizio 6)
Dato un fascio di elettroni e due fenditure, è possibile determinare da quale fenditura sono passati ed osservare la figura di interferenza?
No, non è possibile perché nel momento in cui misuro il mio sistema lo sto alterando e non potrò più osservare la figura di interferenza.
Prof. Vito Egidio Mosca
Imparare la Fisica
