Formula di Planck

FORMULA DI PLANCK IPOTIZZANDO L’ENERGIA QUANTIZZATA

In quest’articolo vedremo come si determina la formula di Planck tramite l’ipotesi di energia discreta (quantizzata) cioè multipla intera del quanto di energia ħ ∙ ω.

Per fare ciò dobbiamo calcolare l’energia media di un oscillatore tenuto in equilibrio ad una certa temperatura T. Per capire il perché di ciò, rivediamo la formule di Rayleigh-Jeans del campo elettromagnetico all’equilibrio:

u(ω,T) = ω²/(π²c³)  ∙  K_BT

Tale formula è costituita da una prima parte (ω²/π²c³) e una seconda (K_BT).

La radiazione elettromagnetica all’equilibrio può essere descritta come l’insieme di tanti piccoli oscillatori (molle) in equilibrio ad una certa temperatura (oscillano per via dell’agitazione termica). La prima parte della formula (ω²/π²c³) ci dice quanti sono tali oscillatori alla frequenza ω. La seconda parte di tale formula (K_B ∙ T) rappresenta l’energia media di tali oscillatori, dove la costante di Boltzmann K_B non è altro che un modo per passare dalla temperatura all’energia media di un oscillatore.

Nella formula di Planck:

u(ω, T) = ω²/π²c³  ·  ħω/(e^ħω/(K_BT) – 1)

 la prima parte (il numero di oscillatori) è la stessa, quello che cambia tra la formula di Planck e quella della fisica classica è l’energia media di tali oscillatori.

Per calcolare l’ENERGIA MEDIA DI TALI OSCILLATORI in equilibrio termodinamico alla temperatura T dobbiamo fare ricorso alla meccanica quantistica che studia quei sistemi composti da un numero molto grande di particelle (come avviene ad es. per i gas). Quando un gas si trova ad una certa temperatura ci interessano soltanto le proprietà medie del gas: ad es. la temperatura e quindi la velocità media delle particelle, la pressione e quindi la forza per unità di superficie esercitata in media dalle particelle del gas che urtano contro la parete della superficie stessa.

La legge fondamentale della meccanica statistica è:

P(E_n) = 1/Z · e ^{– β En}                  dove                  Z = ∑_n e ^{– β En}     con β = 1 / (K_BT)

dato un gas (o degli oscillatori) in equilibrio ad una certa temperatura T, qual è la probabilità che tale gas abbia una certa energia? La probabilità che il gas ad una temperatura T abbia una certa energia P(E_n) è proporzionale a un esponenziale negativo dove l’esponente è il rapporto tra l’energia e la temperatura misurata in unità di energia. Ad esempio, la probabilità che il sistema abbia complessivamente un’energia >> K_BT è piccola perché l’esponenziale negativo di qualcosa di grande (E_n >> K_BT) è molto piccolo. Quindi un sistema ad una temperatura T avrà un’energia dell’ordine di K_BT. La costante 1/Z è una costante di normalizzazione, Z si chiama funzione partizione e rappresenta la somma su tutti i possibili valori di energia.

Per la fisica classica l’energia assume valori continui e quindi la sommatoria non è altro che l’integrale, per Planck è invece una somma sui valori discreti dell’energia.

Conoscendo tale probabilità è possibile calcolare l’energia media E: come la somma del prodotto dell’energia per la sua probabilità:

E = ∑_n ( E_n P(E_n) ) = 1/Z ∑_n E_n e ^{– β En}

Notiamo che derivando l’esponenziale rispetto a β otteniamo – E_n e ^{– β En}, quindi possiamo scrivere:

E = 1/Z (– d/dβ ∑_n e ^{– β En})

ma ∑_n e ^{– β En} = Z

E = – 1/Z · dZ/dβ = –d (lnZ)/dβ

Quindi se so calcolare la funzione partizione, facendo la derivata del suo logaritmo naturale rispetto a β ottengo l’energia media del sistema.

Nel caso dello spettro del corpo nero, per calcolare la funzione partizione basta fare la somma su tutti i possibili valori di energia. Planck afferma che i possibili valori di energia nello spettro del corpo nero sono

E_n = n ħ ω       (n = 0, 1, 2, 3, …)

e quindi la funzione partizione è:

Z = ∑_n e ^{– β En} = ∑_n e ^{– β n h ω}

Il risultato di questa serie geometrica (∑_n xⁿ = 1/(1 – x) con n = 0, 1, … ∞) è:

Z = 1 / (1 – e ^{– β h ω} )

da cui l’energia media (che è la derivata del lnZ rispetto a β)

E = –d (lnZ)/dβ => E = h ω / (e ^{β h ω} – 1) con con β = 1 / (K_BT)

Ritornando alla nostra formula di Planck:

u(ω, T) = ω²/π²c³ · ħω/(e^hω/(K_BT) – 1)

la seconda parte è proprio l’energia media.

Se assumo valori discreti dell’energia si riesce a ricavare una formula che rispecchia l’andamento dello spettro del corpo nero. Quindi l’energia del campo elettromagnetico in equilibrio all’interno della cavità deve essere quantizzata.

La quantizzazione dell’energia secondo l’ipotesi di Planck non ha una giustifica da parte dello stesso autore.

Dalla matematica sappiamo che per piccoli valori di x

e^x = 1 + x

e quindi alle basse frequenze (ω piccolo)

E = ħ ω / (e ^{β h ω} – 1) = ħ ω / (1 + β ħ ω – 1) = K_B T

e quindi la formula di Planck approssima quella di Rayleigh – Jeans (fisica classica).

Per h ω molto piccolo (cioè i vari livelli di energia tendono ad essere continui) siamo nel campo della fisica classica (formula di Rayleigh – Jeans) e l’energia media di ogni oscillatore è K_B T.

Ad alte frequenze il –1 del denominatore può essere trascurato e l’esponenziale lo posso portare al numeratore con l’esponenziale negativo e diventa la formula sperimentale di Wien.

Nel 1918  arrivò per Planck il premio Nobel.

Prof. Vito Egidio Mosca

Imparare la Fisica