Vediamo un esempio di applicazione della
legge di Faraday
In particolare vediamo come
il lavoro fatto per variare il flusso di B si manifesta come differenza di potenziale (f.e.m.i.) ai capi di una spira.
Consideriamo una spira di altezza h con la parte sinistra (rispetto alla linea tratteggiata blu) immersa per un tratto lungo l in un campo magnetico B entrante nel disegno:
Quindi soltanto la superficie S = h · l è immersa nel campo B.
All’istante t, il flusso del campo B attraverso la superficie S = h · l è dato da: ϕ(t) = B · S => ϕ(t) = B · h·l. Applichiamo una forza Festerna verso destra per spostare la spira di un tratto Δl in modo da diminuire la superficie immersa in B e quindi in modo da diminuire il flusso di B come in figura:
All’istante t+Δt la spira è stata spostata a destra di Δl quindi la nuova superficie immersa nel campo B è diventata S = h · (l — Δl) => ϕ(t+Δt) = B · h·(l—Δl).
Perciò la variazione del flusso di B nell’intervallo Δt è:
Δϕ = ϕ(t+Δt)—ϕ(t) = B · h · (l—Δl) —B · h · l =>
=> Δϕ = —B · h · Δl =>
per la legge di Faraday con la correzione apportata da Lenz (vedi Induzione elettromagnetica)
=> f.e.m.i. = — Δϕ/Δt =— (—B · h · Δl)/Δt => f.e.m.i. = B · h · v
essendo v = Δl/Δt la velocità con cui si sposta la spira; è da notare che poiché sul tratto h della spira ci sono degli elettroni e poiché la spira si muove con velocità v, allora anche gli elettroni si muoveranno con la stessa velocità v. Sappiamo però che una carica in movimento con velocità v immersa in un campo B riceve una spinta dalla forza di Lorentz: FLorentz = q·v·B; applicando la regola della mano destra e considerando che si tratta di una carica negativa, la forza di Lorentz spinge verso il basso gli elettroni (accumulo di cariche negative in basso) e quindi nella parte alta della spira rimarranno delle cariche positive:
Queste cariche negative e positive rappresentano una differenza di potenziale ai morsetti della spira; tale tensione che si manifesta è proprio la forza elettromotrice indotta della legge di Faraday-Lenz:
f.e.m.i. = B · h · v
Dalla precedente possiamo osservare che se la velocità è zero (cioè non ho variazione del flusso di B concatenato con la spira), la f.e.m.i. è zero, se v è alta anche la f.e.m.i. sarà alta.
Poiché il lavoro è per definizione uguale a Forza · spostamento, nel nostro caso la forza è la forza di Lorentz mentre lo spostamento è pari all’altezza h della spira => L = FLorentz · h => L = (q·v·B) · h
Sappiamo anche che L è uguale alla variazione dell’energia potenziale (L = ΔU) e che la differenza di potenziale è dato dal rapporto dell’energia potenziale e la carica (ΔV = ΔU/q):
ΔV = ΔU/q = L/q = q·v·B·h/q =>ΔV = B·h·v
che coincide con la f.e.m.i. prevista da Faraday.
Se la spira è chiusa su una resistenza (vedi figura in basso), la f.e.m.i. genererà una corrente i indotta. Poiché nel tratto h della spira circola tale corrente i immersa in un campo B, su tale tratto h di filo agirà una forza magnetica F = i h x B e nel nostro caso (usando la regola della mano destra) troviamo che la forza magnetica è verso sinistra:
Fmagnetica = B · i · h
Quindi, alla forza esterna utilizzata per estrarre la spira si opporrà una forza magnetica dovuta al fatto di avere un filo lungo h percorso da una corrente indotta i ed immersa in un campo magnetico B. Tutto ciò conferma la correzione apportata dalla legge di Lenz a quella di Faraday e cioè che il verso della corrente indotta generata dalla f.e.m.i. è tale da opporsi alla variazione del flusso di B concatenato.
Dalla precedente relazione sulla forza magnetica possiamo notare che se la spira non è chiusa su una resistenza, cioè se nella spira non circola corrente indotta (i = 0) non c’è nemmeno la forza magnetica che si oppone.
Tale forza magnetica, nell’intervallo di tempo Δt compie un lavoro dovuto allo spostamento della spira di un tratto Δl = v · Δt :
L = Fmagnetica· Δl = Fmagnetica· v · Δt =>
Sostituendo la forza magnetica si ottiene:
=> L = (B·i·h) · v · Δt = B·h·v · i · Δt =>
e ricordando che ΔV = B·h·v generata ai morsetti della spira (cioè la f.e.m.i.), si ha:
=> L = ΔV · i · Δt
che rappresenta l’energia dissipata per effetto Joule.
