GAS E TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA (cenni)
Un sistema fisico può essere studiato tramite:
- le grandezze macroscopiche presenti nelle equazioni di stato (pressione, volume e temperatura);
- una teoria microscopica che utilizza le proprietà di atomi e molecole.
Un esempio di effetto macroscopico che può essere spiegato mediante un’analisi microscopica è la tensione superficiale. Nella seguente figura ci sono delle molecole d’acqua
Le molecole in alto sono a contatto con l’aria ed hanno subito sotto ed ai lati altre molecole di acqua. Queste molecole sono vicine, sviluppano delle forze attrattive tra loro e formano una membrana elastica in tensione (detta tensione superficiale). Le molecole d’acqua nello stato di vapore non risentono di quest’attrazione in quanto la loro distanza media è molto maggiore rispetto alle molecole d’acqua nello stato liquido. Le molecole d’acqua nello stato di vapore sono libere di muoversi e tendono ad occupare tutto il volume disponibile. Se si cerca di avvicinare le molecole di acqua (ad es. mediante una pressione esterna) esse tendono a respingersi fra loro (entrano in gioco delle altre forze repulsive).
La teoria cinetica dei gas è un esempio di teoria microscopica che lega i valori medi delle grandezze microscopiche (energia cinetica media delle molecole) con le grandezze macroscopiche (pressione, volume e temperatura). Tale teoria si applica ad un gas perfetto:
- dal punto di vista macroscopico un gas perfetto è quel gas che soddisfa l’equazione di stato dei gas perfetti pV = nRT;
- dal punto di vista microscopico un gas perfetto ha:
- le molecole si muovono continuamente di moto casuale (di agitazione termica);
- gli urti delle molecole sono completamente elastici;
- le forze di attrazione tra le molecole sono trascurabili.
Un gas reale è una buona approssimazione di un gas ideale se è molto rarefatto (le molecole sono talmente distanti che si possono trascurare le reciproche interazioni, quindi la pressione è molto bassa) e se si trova ad una temperatura molto maggiore rispetto a quella che lo liquefa.
Come si spiega la pressione da un punto di vista microscopico?
La pressione di un gas è semplicemente l’effetto dei tanti urti delle molecole del gas contro le pareti del contenitore. Se indichiamo con N il numero di molecole di un gas in un volume V, il rapporto N/V rappresenta il numero di molecole per unità di volume. Se con Ec indichiamo l’energia cinetica media totale, la pressione è data da 2/3 volte il numero di molecole per unità di volume per la loro energia cinetica media:
p = 2/3 ⋅ N/V ⋅ Ec
La pressione è direttamente proporzionale all’energia cinetica media delle sue molecole.
Inoltre, l’energia cinetica media di una molecola di un gas (monoatomico) è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta del gas:
Ec = 3/2 ⋅ kB T
dove kB è la costante di Boltzmann: kB = R/NA = 1,381 ⋅ 10-23 J/K (dove NA è il numero di Avogadro).
Tutto torna, infatti:
p = 2/3 ⋅ N/V ⋅ Ec =>
sostituiamo Ec = 3/2 kB T
=> p = 2/3 ⋅ N/V ⋅ 3/2 kB T = N/V ⋅ kB T => p V = N kB T =>
ma kB = R/NA
=> p V = N R/NA T =>
ed infine poiché il numero di moli è n = N/NA
=> p V = n R T
Per un gas monoatomico di N molecole l’energia cinetica media è:
Ec = 3/2 ⋅ N kB T = 3/2 ⋅ N kB T = 3/2 ⋅ N R/NA T =>
=> Ec = 3/2 ⋅ n R T
Per un gas biatomico oltre che ad un’energia cinetica di traslazione (3/2 ⋅ n R T) c’è anche un’energia cinetica di rotazione (n R T) e quindi l’energia cinetica totale media di un gas biatomico è:
Ec = 5/2 ⋅ n R T
Per comprendere meglio da dove esce il 3 o il 5 delle due formule dell’energia cinetica dobbiamo introdurre il concetto di grado di libertà f di una molecola cioè il numero di coordinate necessario a descrivere il suo moto. Per ogni grado di libertà, l’energia media associata è:
1/2 kB T
Se una molecola può muoversi solo lungo l’asse x (f = 1): Ec = 1/2 kB T.
Se una molecola può muoversi lungo l’asse x e lungo l’asse y (f = 2): Ec = 2/2 kB T.
Se una molecola può muoversi lungo i 3 assi (f = 3): Ec = 3/2 kB T.
Se una molecola è biatomica, essa oltre che muoversi lungo i 3 assi cartesiani, può anche ruotare rispetto ad altri 2 assi passanti per il centro di massa della molecola (f = 5): Ec = 5/2 kB T.
In generale, per f gradi di libertà:
Ec = f/2 kB T
o per un gas con N molecole:
Ec = f/2 n R T
