Nel 1824 il francese Carnot propose un ciclo composto da quattro trasformazioni reversibili di un gas perfetto:
BC: espansione adiabatica;
CD: compressione isoterma;
DA: compressione adiabatica.
Il gas si trova nello stato A in equilibrio a contatto termico con una sorgente di calore a temperatura “calda” Tc. L’espansione isoterma reversibile avviene come una successione di micro-trasformazioni dove ad una diminuzione di una piccola quantità di pressione esterna Δp il gas si espande di una piccola quantità ΔV raffreddandosi di una piccola quantità ΔT; una piccola quantità di calore ΔQc viene assorbito dal sistema e lo fa ritornare alla temperatura dell’isoterma Tc. Passando dallo stato A allo stato B mediante questa successione di equilibri, il calore trasferito dalla sorgente verso il sistema (considerando che in un’isoterma ΔU = 0) è:
dove LAB è il lavoro fatto nell’espansione isoterma: Qc > 0 essendo VB > VA.
Nel punto B inizia l’espansione adiabatica reversibile, quindi il gas è isolato (non scambia calore QBC = 0), dove si ha una diminuzione infinitesima della pressione esterna Δp, una conseguente espansione ΔV ed una diminuzione della temperatura ΔT fino a giungere nello stato C. Poiché QBC = 0:
LBC = -ΔUBC = n Cv (Tc – Tf)
LBC > 0 essendo Tc > Tf
Inoltre (ciò sarà utile per il calcolo del rendimento):
Il gas è poi messo a contatto termico con una sorgente “fredda” a temperatura Tf < Tc e tramite un aumento infinitesimo della pressione esterna Δp si compire il gas di una quantità infinitesima ΔV, aumenta la temperatura di una quantità infinitesima ΔT e viene trasferito una quantità infinitesima di calore ΔQ alla sorgente “fredda” in modo che il gas ritorni alla temperatura Tf dell’isoterma. Considerando che in un’isoterma ΔU = 0 si ha:
dove LCD è il lavoro fatto nella compressione isoterma: Qf < 0 essendo VD < VC.
Nel punto D inizia la compressione adiabatica reversibile, quindi il gas è isolato (non scambia calore QDA = 0), dove si ha un aumento infinitesimo della pressione esterna Δp, una conseguente diminuzione del volume di ΔV ed un aumento della temperatura di ΔT fino a ritornare nello stato A. Poiché QDA = 0:
LDA = -ΔUDA = n Cv (Tf – Tc)
LDA < 0 essendo Tc > Tf
Si osservi che LDA = -LBC.
Inoltre (ciò sarà utile per il calcolo del rendimento):
Il rendimento del ciclo di Carnot è
Facendo il rapporto membro a membro delle due trasformazioni adiabatiche:
otteniamo:
Perciò il rendimento della macchina di Carnot è:
Osservazioni del rendimento di un gas ideale che compie un ciclo di Carnot:
- nel rendimento non ci sono le caratteristiche del gas;
- ci sono soltanto le temperature delle due sorgenti di calore con cui il sistema scambia calore;
- poiché Tc > Tf il rendimento η < 1;
- poiché VB/VA = VC/VD e Tc > Tf => Qc > |Qf|;
- il lavoro complessivamente prodotto è
L = LAB + LBC + LCD + LDA = Qc + LBC + Qf – LBC =>
=> L = Qc + Qf => L = Qc – |Qf|
