Equivalenza massa energia

E = mc²

Dal teorema dell’impulso sappiamo che una forza F applicata per un tempo Δt genera una variazione della quantità di moto:

F = Δp/Δt = Δ(m v)/Δt => F = Δ(m v)/Δt (1)

Sappiamo anche che il lavoro della forza applicata per un tratto Δx produce una variazione di energia cinetica:

F Δx = ΔK (2)

Sostituendo l’espressione della forza (1) nella (2):

Δ(m v) Δx/Δt = ΔK

Poiché Δx/Δt = v:

Δ(m v) v = ΔK (3)

Poiché applicando la forza F la massa m accelera (varia la sua velocità) la massa varia m = γ m₀ (con γ fattore di Lorentz).

Prima dell’applicazione della forza abbiamo: m v.

Dopo l’applicazione della forza abbiamo: (m + Δm)(v + Δv).

Perciò la (3) diventa:

[(m + Δm)(v + Δv) – mv] v = ΔK

Trascurando il termine Δm · Δv si ottiene:

m v Δv = ΔK – v² Δm (5)

Lavoriamo ora con la massa relativistica per determinare un’altra espressione di m v Δv da confrontare con la (5).

Sappiamo che la massa relativistica è data da:

Elevando entrambi i membri al quadrato, facendo il minimo comune multiplo e moltiplicando entrambi i membri per (c² – v²) si ottiene:

m² (c² – v²) = m₀² c² (6)

Dopo l’applicazione della forza F la massa diventa m + Δm e la velocità v + Δv; perciò la (6) diventa:

(m + Δm)² [c² –  (v + Δv)] = m₀² c² (7)

Sviluppando i quadrati, trascurando i termini Δm², Δv² e Δm Δv, la (7) diventa:

m² (c² – v²) – 2m² vΔv + 2m c²Δm – 2m v²Δm = m₀² c² (8)

Sottraendo la (6) dalla (8) si ottiene:

– 2m² vΔv + 2m c²Δm – 2m v²Δm = 0

Dividendo tutto per -2m:

m v Δv – c² Δm + v²Δm = 0

Da cui:

m v Δv = c² Δm – v²Δm (9)

Confrontando la (5) e la (9) si ottiene:

ΔK – v² Δm = c² Δm – v²Δm => ΔK = c² Δm  

e se la velocità iniziale è 0 (cioè K_i = 0):

K = c² (m- m₀) (10)

Osserviamo, dividendo entrambi i membri per c²:

K/c² = m – m₀

che essendo l’energia cinetica e c² quantità positive, m – m₀ è positivo (cioè all’aumentare della velocità aumenta la massa).

Eliminando le parentesi dalla (10):

K = mc² – m₀ c²  (11)

dove E₀ = m₀ c² è detta energia a riposo.

Se indichiamo con E l’energia totale (energia cinetica K + energia a riposo E₀):

E = K + m₀c² = m c² 

possiamo scrivere la famosa formula:

E = m c²  (12)

Questa formula è nota anche come equivalenza massa energia. Se un corpo di massa m acquista energia ΔE, la sua massa aumenta di una quantità 

Δm = ΔE/c²

Viceversa, se c’è una variazione di massa Δm si ha una variazione di energia 

ΔE = Δm c² 

Questa equivalenza massa energia, conseguenza della teoria della relatività ristretta, è confermata da vari esperimenti. In reazioni che determinano un difetto di massa si ottiene energia (la massa mancante si è trasformata in energia) e viceversa.

Mentre prima della relatività ristretta esisteva il principio di conservazione della massa e il principio di conservazione dell’energia, oggi si parla di conservazione massa – energia.

La quantità E₀ = m₀c²  è detta energia a riposo (cioè per v = 0) ed è indipendente dal sistema di riferimento. Questa formula afferma che una massa, anche se a riposo, possiede un’energia molto grande perché è direttamente proporzionale al quadrato della velocità della luce.

Una piccola parentesi sul fotone.

Per Einstein la luce è costituita da pacchetti di energia detti fotoni. Il fotone è privo di massa a riposo e l’energia totale è solo cinetica. Dalla (12):

E = mc · c

Poiché il prodotto massa per velocità (m c) rappresenta la quantità di moto (p):

E = p c

Poiché il fotone possiede energia allora possiede una quantità di moto:

p = E/c (quantità di moto del fotone)

Quando il fotone interagisce con la materia può quindi trasferire la sua quantità di moto (in un sistema isolato la quantità di moto totale si conserva).

Approfondimento sull’argomento massa:
https://www.asimmetrie.it/images/pdf/asimmetrie14.pdf

Prof. Vito Egidio Mosca
Imparare la Fisica