PARTICELLA IN BUCA DI PONTENZIALE INFINITA
Dopo aver visto il più semplice fra i vari sistemi e cioè il caso di una particella libera (si può muovere in assenza di forze esterne) vediamo il caso di una particella in una buca di potenziale infinita cioè supponiamo di avere una particella che possa muoversi soltanto in una dimensione (un segmento di ampiezza l) tra una posizione x = 0 e una posizione x = l. In tale segmento il potenziale è 0, esternamente a tale segmento il potenziale è infinito e perciò la probabilità di trovare tale particella fuori da questo segmento è zero (la funzione d’onda ψ(x) = 0).
Da un punto di vista pratico, estendendo tale discorso in tre dimensioni, è come se volessimo studiare il comportamento di una particella di un gas all’interno di un contenitore.
Se fuori il segmento la particella non può uscire, all’interno del segmento di lunghezza l, essendo il potenziale nullo, essa si comporta come una particella libera e perciò l’equazione di Schrodinger è quella di una particella libera:
Essendo un’equazione differenziale, la funzione d’onda deve essere continua e poiché prima di 0 e dopo l ψ(x)=0 allora, rispetto al caso di particella completamente libera, dobbiamo imporre delle condizioni al contorno cioè dobbiamo imporre che la funzione d’onda in x=0 e in x = l sia nulla:
ψ(0) = ψ(l) = 0.
Questa volta, la soluzione di quest’equazione differenziale è:
con n = 1, 2, 3 …
che si annulla sia in in x = 0 che in x = l.
Sono possibili tutte le funzioni d’onda la cui lunghezza d’onda entra un numero semiintero di volte nel segmento di lunghezza l.
Ricordando il legame tra l’energia E e il vettore d’onda k
E = ħ k2/(2m)
poiché k può assumere solo valori discreti
E = ħ π2 n2/(2ml2) con n = 1, 2, 3 …
l’energia è quantizzata e il suo valore minimo si ha per n = 1. Inoltre, essendo n2 l’energia corrispondente al livello eccitato 2 è 4 volte maggiore di quello nello stato fondamentale per n = 1.
In generale, ogni volta che il moto può avvenire soltanto in una regione finita (confinata) dello spazio (stati legati o confinati: ψ(±∞)=0 cioè la particella non si può allontanare all’infinito), si trova sempre che l’energia è quantizzata (discreta). Nel caso in cui non ci sono confini (come nel caso della particella libera), i livelli di energia sono continui.
Prof. Vito Egidio Mosca
