IL COMMUTATORE E IL PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE
Abbiamo visto che iI meccanica quantistica, le osservabili fisiche (energia, impulso, posizione, momento angolare …) non sono rappresentate da semplici funzioni come in meccanica classica ma sono rappresentate da operatori. Vediamo alcuni esempi:
- l’energia E = i ħ ∂ψ/∂t; quindi l’operatore dell’energia è: i ħ ∂/∂t;
- l’impulso p = – i ħ ∂ψ/∂x; quindi l’operatore dell’impulso è: – i ħ ∂/∂x;
- la posizione x = x;
- il momento angolare L = – i ħ ∂ψ/∂φ
Quindi mentre nella fisica classica l’energia totale è la somma dell’energia cinetica più energia potenziale con questa forma:
E = p2/(2m) + Ep(x)
nella fisica quantistica abbiamo degli operatori:
in cui l’energia e l’impulso, in questa equazione d’onda, sono degli operatori.
L’operatore agendo sulla funzione d’onda fornisce il valore dell’osservabile fisica.
Riassumendo, la differenza fra la meccanica quantistica e quella classica è:
- nella meccanica classica le osservabili fisiche sono rappresentate da funzioni ordinarie;
- nella meccanica quantistica le osservabili fisiche sono rappresentate da operatori.
La diversità consiste nel fatto che gli operatori possono non commutare tra loro. Ad esempio, se nella fisica classica consideriamo il prodotto fra posizione x ed impulso: px – xp = 0.
Nella fisica quantistica [p, x] = px – xp ≠ 0, infatti
Poiché gli operatori agiscono su una funzione d’onda ψ, sostituedno al posto dell’impulso il suo operatore si ottiene:
Si può osservare che nel primo termine c’è la derivata di un prodotto mentre nel secondo termine c’è solo la derivata della funzione d’onda:
Quindi la differenza px – xp cioè il commutatore tra impulso e posizione in meccanica quantistica vale -i ħ e non 0 come nella fisica classica.
Nella meccanica quantistica, se due osservabili sono rappresentati da due operatori che non commutano tra di loro, come ad esempio posizione ed impulso, non possono avere valori simultaneamente determinati; se calcolo il commutatore di questi due osservabili [A,B], vale in generale una relazione di indeterminazione: il prodotto dell’indeterminazione di queste due osservabili deve essere sempre ≥ 1/2 del modulo del valore di quel commutatore
ΔA · ΔB ≥ 1/2 |[A,B]|
Nel caso di posizione ed impulso il commutatore [p,x] = –i ħ, questo vuol dire che:
Δx · Δp ≥ ħ/2
che è il principio di indeterminazione già noto e ciò deriva proprio dal fatto che posizione ed impulso sono rappresentati da operatori che non commutano tra di loro.
Prof. Vito Egidio Mosca
Imparare la Fisica
