Equazioni differenziali del primo ordine
Un’equazione differenziale è una relazione tra la variabile indipendente x, una funzione f(x) che rappresenta l’incognita (y = f(x)), e le sue derivate (y’, y” …). In generale un’equazione differenziale si scrive in questo modo:
F(x; y; y’; y”; … ) = 0
L’ordine dell’equazione differenziale è il massimo ordine della derivata.
In quest’articolo vedremo le equazioni differenziali del primo ordine:
F(x; y; y’) = 0
Una soluzione di questa equazione è detta soluzione o integrale dell’equazione differenziale e il suo grafico è detto curva integrale. Le soluzioni di un’equazione differenziale possono essere infinite; l’insieme di tutte queste soluzioni si chiama soluzione generale o integrale generale. Imponendo delle condizioni iniziali (come abbiamo fatto negli esempi introduttivi) troviamo una soluzione particolare dell’equazione differenziale.
La soluzione generale di un’equazione differenziale del primo ordine è funzione della variabile indipendente x e di un parametro c: y = f(x; c).
Fra tutte le soluzioni dell’equazione differenziale, cerchiamo quella il cui grafico (curva integrale) passa per un punto particolare (x0, y0); tale problema è detto problema di Cauchy. Una soluzione particolare di un’equazione differenziale del primo ordine è quindi funzione solo della variabile indipendente: y = f(x). Tale soluzione non è altro che la soluzione del seguente sistema:
y0= f(x0) è detta condizione iniziale del problema di Cauchy.
Vediamo come si risolvono tre tipologie di equazioni differenziali del primo ordine:
- y’ = f(x);
- y’ = p(x) q(y) equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili;
- equazione differenziale del primo ordine lineare
- y’ = a(x) y + b(x) completa;
- y’ = a(x) y omogenea.
Soluzione di un’equazione differenziale del tipo y’ = p(x)
y’ = f(x)
integriamo entrambi i membri
∫ y’ = ∫ f(x) dx => y = ∫ f(x) dx
Esempio 1: y’ = x => y = ∫ x dx => y = 1/2 x2 + c
Esempio 2: y’ = e-x => y = ∫ e-x dx => y = -e-x + c
Soluzione di un’equazione differenziale a variabili separabili: y’ = p(x) q(y)
y’ = p(x) q(y)
y’ si scrive nella forma dy/dx
dy/dx = p(x) q(y)
nell’ipotesi che q(y) ≠ 0
dy/q(y) = p(x) dx
integriamo entrambi i membri
∫ dy/q(y) = ∫ p(x) dx
Si risolve l’integrale e poi si analizza il caso q(y) = 0.
Esempio: y’ = 2xy => dy/dx = 2xy =>
per y ≠ 0
=> dy/y = 2x dx => ∫dy/y = ∫2x dx => ln|y| = x2 + c => y = ± ex2+c = ± ec ex2 => y = ± c’ ex2
Per y = 0, la derivata di una costante è y’ = 0; perciò y’ = 2xy diventa 0 = 0 che è un’identità. Quindi anche y = 0 è accettabile (è un integrale dell’equazione differenziale).
Soluzione di un’equazione differenziale del primo ordine lineare omogenea
y’ = a(x) y + b(x)
con b(x) = 0
Quindi un’equazione differenziale del primo ordine lineare omogenea è del tipo
y’ = a(x) y
che è un’equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili la cui soluzione è:
dy/dx = a(x) y =>
per y ≠ 0
=> dy/y = a(x) dx => ∫dy/y = ∫a(x) dx =>
detta A(x) una primitiva di a(x)
ln|y| = A(x) + c => y = ± eA(x)+c = ± ec eA(x) => y = ± c’ eA(x) = k eA(x) (con k ≠ 0)
Per y = 0, la derivata di una costante è y’ = 0; perciò y’ = a(x) y diventa 0 = 0 che è un’identità. Quindi anche y = 0 è accettabile (è un integrale dell’equazione differenziale). In definitiva la soluzione è:
y = k eA(x) con k reale qualsiasi
Soluzione di un’equazione differenziale del primo ordine lineare completa
y’ = a(x) y + b(x)
Tale equazione può essere risolta mediante il metodo di Lagrange:
- si risolve l’equazione omogenea associata y’ = a(x) y => y = k eA(x)
- si sostituisce la costante k con una funzione di x: y = k(x) eA(x) con A(x) una primitiva di a(x)
- si determina k(x) derivando: y = k(x) eA(x) => y’ = k'(x) eA(x) + k(x) a(x)eA(x) => y’ = k'(x) eA(x) + a(x) y
- si sostituisce y’ nell’equazione originale: k'(x) eA(x) + a(x) y = a(x) y + b(x) => k'(x) eA(x) = b(x) => k'(x) = b(x) e-A(x) => k(x) = ∫ b(x) e-A(x) dx
- la soluzione generale è quindi: y = k(x) eA(x) = eA(x) k(x) => y = eA(x) ∫ b(x) e-A(x) dx
Esempio: y’ = -xy + x
per confronto con y’ = a(x) y + b(x) si deduce che a(x) = -x e b(x) = x.
Si trova una primitiva di a(x): A(x) = ∫ -x dx = -x2/2 => A(x) = -x2/2. Fra tutte le primitive scegliamo quella con c = 0.
Poiché la soluzione generale è y = eA(x) ∫ b(x) e-A(x) dx, la soluzione dell’equazione differenziale è:
y = e-x2/2 ∫ x ex2/2 dx = e-x2/2 (ex2/2 + c) = 1 + ce-x2/2
SINTESI: SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
y’ = f(x) => y = ∫ f(x) dx
A VARIABILI SEPARABILI
y’ = p(x) q(y) => ∫dy/q(y) = ∫p(x) dx e poi si analizza il caso q(y) = 0
LINEARE OMOGENEA (A VARIABILI SEPARABILI)
y’ = a(x) y => y = k eA(x) con k reale qualsiasi, dove A(x) = ∫a(x) dx
LINEARE COMPLETA (METODO DI LAGRANGE)
y’ = a(x) y + b(x) => y = eA(x) ∫ b(x) e-A(x) dx dove A(x) = ∫a(x) dx
Prof. Vito Egidio Mosca
