EQUAZIONE DI BERNOULLI
L’equazione di Bernoulli è tra le più importanti argomenti di Fisica. Ricordo il titolo di un libro “Le 5 equazioni che hanno cambiato il mondo” e tra queste c’è anche l’equazione di Bernoulli. Tale equazione spiega l’effetto Venturi che consente, ad esempio, di spruzzare un profumo
o il funzionamento di un bruciatore a gas, spiega il teorema di Torricelli, l’effetto Magnus, la portanza di un’ala, la strozzatura ulteriore di un’arteria …
Per trovare la versione generale dell’equazione di Bernoulli, consideriamo un fluido incomprimibile con flusso stazionario privo di attriti all’interno di un tubo che entra in una sezione A1 ad un’altezza h1 ed esce da un’altra sezione A2 ad un’altra altezza h2:
A sinistra della sezione 1 c’è altro liquido che spinge con una forza F1 ed analogamente a destra della sezione 2. Supponiamo che la pressione sia tale per cui il fluido si sta spostando verso destra, le forze F1 e F2 compiranno un lavoro che indicheremo con Lpressione:
Lpressione = L1 + L2 = F1 · s1 + F2 · s2
Si noti che i vettori F1 e s1 hanno stessa direzione e stesso verso mentre F2 e s2 hanno stessa direzione ma verso opposto:
Lpressione = F1 s1 – F2 s2
Per definizione di pressione, sappiamo che: p = F/A => F = p A. Perciò:
Lpressione = p1 A1 s1 – p2 A2 s2
La quantità A s rappresenta il volume di liquido che si sta spostando:
Lpressione = p1 V1 – p2 V2
Poiché il liquido è incomprimibile V1 = V2 = V
Lpressione = (p1 – p2) V
Poiché la massa di liquido cambia altezza, anche la forza peso compirà un lavoro Lpeso; poichè si tratta del lavoro di una forza conservativa, sappiamo che:
Lpeso = – ΔU
Il lavoro totale è perciò:
Ltot = Lpressione + Lpeso => Ltot = (p1 – p2) V – ΔU
Ma per il teorema dell’energia cinetica:
Ltot = ΔEc
Quindi
ΔEc = (p1 – p2) V – ΔU => (p1 – p2) V = ΔEc + ΔU =>
=> p1 V + ½ m v1² + m g h1 = p2 V + ½ m v2² + m g h2
rappresenta l’equazione di Bernoulli.
Dividendo ambi i membri per V e ricordando che ρ = m/V otteniamo un’altra forma dell’equazione di Bernoulli:
p1 + ½ ρ v1² + ρ g h1 = p2 + ½ ρ v2² + ρ g h2
OSSERVAZIONI:
- così come m/V rappresenta la densità (di massa), la quantità Ec/V rappresenta una densità di energia cinetica e U/V rappresenta una densità di energia potenziale;
- Ec/V si misura in J/m³ = Nm/m³ = N/m² = Pa; possiamo quindi dedurre che la densità di energia è una pressione ma anche che una pressione non è altro che una densità di energia dovuta alla pressione del fluido;
- visto che tutti e tre gli addendi sono delle densità di energia, il principio di Bernoulli può essere considerato come un principio di conservazione della densità di energia.
