ESERCIZIO: VASI COMUNICANTI

Per svolgere gli esercizi sui vasi comunicanti bisogna conoscere tre concetti importanti:

1. legge di Stevino:
   
   1. la pressione idrostatica esercitata da un liquido di densità ρ ad una certa altezza h è: p = ρgh;
   2. se sul liquido agisce una pressione esterna allora la pressione totale che agisce ad una certa altezza è: p_tot = p_ESTERNA + ρgh;
2. un liquido all’interno di un sistema di vasi comunicanti raggiunge la stessa altezza in tutti i recipienti (indipendentemente dalla loro forma);
3. se si inseriscono due liquidi non miscibili in un tubo ad U aperto, la superficie libera di ogni liquido raggiunge un’altezza inversamente proporzionale alla propria densità: maggiore è la densità e minore sarà l’altezza che raggiunge.

Generalmente la p_ESTERNA è la pressione ambiente p_a = 1,01 · 10⁵ Pa, altre volte è la pressione di un gas p_G.

ESERCIZIO:

UN TUBO AD U CONTIENE DUE LIQUIDI (ρ₁ = 0,80 · 10³ kg/m³ E ρ₂ = 1,15 · 10³ kg/m³). IL PELO LIBERO DEL PRIMO LIQUIDO RAGGIUNGE UN’ALTEZZA h₁ = 10 cm. FAI UN DISEGNO, SCRIVI LA CONDIZIONE DI EQUILIBRIO E CALCOLA L’ALTEZZA h₂ RAGGIUNTA DALL’ALTRO LIQUIDO NEL CASO IN CUI ENTRAMBI I LATI SONO APERTI.

SVOLGIMENTO

Quando troviamo scritto che il tubo è aperto vuol dire che su di esso agisce la pressione ambiente e quindi nella condizione di equilibrio dobbiamo usare la formula 1b) che tiene conto di una pressione esterna. Dalle densità dei due liquidi comprendiamo che il liquido 2 raggiungerà un’altezza minore rispetto al liquido 1 e ciò ci consente di fare il seguente disegno:

Dopo aver rappresentato il problema possiamo scrivere la

CONDIZIONE DI EQUILIBRIO: p_EST1 + ρ₁gh₁ = p_EST2 + ρ₂gh₂

Ricaviamo

h₂ = (p_EST1 + ρ₁gh₁ – p_EST2) / (ρ₂g)

Una volta trovata l’altezza che determina la condizione di equilibrio, entriamo nel dettaglio del nostro particolare esercizio: nel nostro caso p_EST1 = p_EST2 = p_a e quindi

h₂ = ρ₁gh₁ / (ρ₂g)

Semplifichiamo g:

h₂ = h₁ ρ₁/ ρ₂

L’altezza raggiunta dal liquido dipende dal rapporto delle due densità.

Controlliamo se le unità di misura corrispondono:

• al primo membro abbiamo [cm];
• al secondo membro abbiamo [cm] [kg/m³] / [kg/m³] = [cm].

Ora possiamo sostituire i dati:

h₂ = 10 cm · 0,80 · 10³/ (1,15 · 10³) = 10 cm · 0,80 / 1,15 = 7,0 cm

Infatti ci aspettavamo un’altezza più bassa.

NOTE:

Se al posto di un tubo aperto avessimo un tubo chiuso, allora dovremmo considerare la 1a) nella scrittura della condizione di equilibrio.

Se al posto di un tubo aperto avessimo un tubo chiuso con un gas ad una certa pressione p_G allora dovremmo considerare la 1b) nella scrittura della condizione di equilibrio dove p_EST = p_G.

Prof. Vito Egidio Mosca

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