CIRCUITAZIONE DEL CAMPO ELETTRICO
Per circuitazione si intende un integrale lungo un circuito cioè lungo una linea chiusa.
Supponiamo di avere una carica di prova q positiva immersa in un campo elettrico che percorre una linea chiusa Γ partendo da un punto A e ritornando nel punto stesso. Sappiamo che l’energia potenziale elettrica dipende solo dal punto iniziale e finale e quindi ΔU = 0.
Calcoliamo il lavoro fatto dalla forza elettrica per spostare tale carica di prova lungo tutto il percorso.
Poiché la direzione del vettore spostamento cambia continuamente, conviene dividere tale percorso s in n parti Δs. Il lavoro complessivo L per spostare la carica sarà poi la somma di tutti i singoli lavori:
L = ∑i Li
dove Li = Fi · Δsi
Naturalmente, per evitare approssimazioni, è necessario dividere tale percorso in un numero di parti n →+∞. In tal caso la sommatoria diventa un integrale, che in questo caso si chiama integrale di linea, e l’intervallo Δs diventa uno spostamento infinitesimo ds:
L = ∫Γ F · ds
Poiché la forza F è quella dovuta al campo elettrico sulla carica di prova q (F = qE):
L = ∫Γ qE · ds
e poiché q è una costante (comune a tutti gli “addendi” che si stanno sommando), possiamo portarla fuori dal simbolo di integrale:
L = q∫Γ E · ds => L/q = ∫Γ E · ds
Ma L/q = Va – Vb:
Va – Vb = ∫Γ E · ds
Tale formula è una generalizzazione di Va – Vb = E(ra – rb).
Poiché i punti iniziale e finale coincidono, Va – Vb = 0 e quindi
∫Γ E · ds = 0
Cioè la circuitazione del campo elettrico E lungo una linea chiusa Γ è zero.
In generale possiamo affermare che un campo vettoriale (ad es. gravitazionale, elettrico, …) è conservativo (cioè il lavoro dipende soltanto dalla posizione iniziale e finale) se e solo se la sua circuitazione lungo una qualsiasi linea chiusa è zero.
