PRINCIPI FISICI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

La figura di interferenza di un fascio di elettroni attraverso due fenditure appare incomprensibile; poiché otteniamo però una figura di interferenza uguale a quella delle onde, possiamo sfruttare le conoscenze che abbiamo sull’interferenza delle onde per descrivere tale fenomeno.

Vediamo prima la matematica che descrive l’interferenza delle onde.

Se indichiamo con A l’ampiezza delle onde e con I l’intensità, poiché l’intensità di un’onda è data dal quadrato del modulo dell’ampiezza, per due onde che formeranno una figura di interferenza si ha:

1. I_S = |A_S|² quando è aperta la sola fenditura di sinistra;

2. I_D = |A_D|² quando è aperta la sola fenditura di destra;

3. I_SD = |A_SD|² = |A_S+ A_D|² quando sono aperte entrambe le fenditure (che è l’intensità delle onde vista nel punto 2. nell’articolo un elettrone un po’ furbetto).

Nel caso degli elettroni l’equivalente dell’intensità I è la probabilità P di rilevare un elettrone in un determinato punto dello schermo. L’equivalente dell’ampiezza A dell’onda sarà un’altra ampiezza che in fisica quantistica si chiama ampiezza di probabilità φ (è un numero complesso) ed è tale che il modulo del suo quadrato è la probabilità di osservare l’elettrone in quel punto. Perciò:

1. P_S = |φ_S|² quando è aperta la sola fenditura di sinistra;

2. P_D = |φ_D|² quando è aperta la sola fenditura di destra;

3. P_SD = |φ_SD|² = |φ_S + φ_D|² quando sono aperte entrambe le fenditure;

4. P_SD = |φ_S|² + |φ_D|² = P_S + P_D quando sono aperte entrambe le fenditure ma vado a interagire con il mio sistema controllando da quale fenditura passa l’elettrone (l’interferenza con l’esperimento determina la perdita della figura di interferenza).

Nel caso 3. (sia per le onde che per l’elettrone) il doppio prodotto (visto nell’articolo un elettrone un po’ furbetto) è quello che poi porta alla figura di interferenza.

Grazie a quest’esperimento sulla doppia fenditura possiamo vedere quali sono i principi fisici della meccanica quantistica che non è deterministica ma probabilistica:

• ad un evento fisico associamo una probabilità che è data dal quadrato dell’ampiezza di probabilità φ che è chiamata funzione d’onda φ(x) in quanto è funzione della posizione x in cui vado a rilevare l’elettrone e si comporta come un’onda piana;
• il dualismo onda particella viene spiegato nella meccanica quantistica dicendo che gli oggetti sono particelle ma la loro posizione nello spazio è determinata da una funzione d’onda;
• quando un evento può verificarsi in due modi diversi (ad esempio un elettrone può passare da una fenditura o da un’altra), le funzioni d’onda (le ampiezze di probabilità) si sommano φ_SD = φ_S + φ_D (in generale si sommano tutti i possibili cammini che l’elettrone può fare). La somma delle ampiezze di probabilità è detta, in meccanica quantistica, sovrapposizione di stati; dal punto di vista dell’elettrone con le due fenditure, è come dire che l’elettrone sia passato da entrambe le fenditure e che l’elettrone si trova in una sovrapposizione di stati. Questo principio di sovrapposizione (sovrapposizione di stati di uno stato fisico) non ha un equivalente nella meccanica classica: immaginiamo di tirare un rigore davanti a due porte messe una a fianco all’altra e di tirare in modo da fare sicuramente goal; o segno in una porta o segno nell’altra, cioè nella fisica classica non mi trovo mai in una situazione di sovrapposizione di stati in cui tiro una palla e facciò goal sia nella porta di sinistra che in quella di destra. Un altro esempio di principio di sovrapposizione nella fisica quantistica si ha con la polarizzazione dei fotoni. Nella fisica classica posso avere una polarizzazione destrogira o levogira mentre nella meccanica quantistica un fotone può trovarsi in sovrapposizione di questi due stati;
• se due stati qualunque sono ammissibili per un sistema fisico, il principio di sovrapposizione ci dice che allora è possibile anche uno stato di sovrapposizione di questi due stati;
• la misura, come quella di posizione fatta dell’elettrone nell’attraversare la fenditura di sinistra o di destra, altera sempre lo stato del sistema e cambia il risultato dell’esperimento; nel caso dell’elettrone in doppia fenditura la probabilità di trovare l’elettrone in un determinato punto quando sono aperte contemporaneamente la fenditura di sinistra e quella di destra non è il quadrato della somma delle ampiezze di probabilità (come nel punto 3.) ma la somma delle probabilità P_SD = P_S + P_D perché ho alterato lo stato del sistema con la mia misura e ciò porta alla distruzione della figura di interferenza;
• la traiettoria della fisica classica non esiste nella meccanica quantistica e ciò deriva dal principio di indeterminazione di Heisenberg ∆x∆p ≥ ћ/2 che pone dei limiti sull’accuratezza contemporanea della posizione e della velocità posseduta da una particella; per la meccanica classica un elettrone che va da un punto ad un altro in un certo intervallo di tempo segue una sua traiettoria di cammino di minima azione; nella meccanica quantistica l’elettrone segue tutti i possibili cammini e come sommare tutti i possibili cammini ci viene detto da Feynman;
• due particelle sono identiche se sono della stessa specie; due particelle sono di specie diverse se si possono distinguere per una loro proprietà fisica (massa, carica, spin). Nella fisica classica se numerassi due particelle identiche (ad es. due elettroni) e facessi percorrere loro due traiettorie, sarei poi sempre in grado, dopo un certo tempo, di distinguerle; poiché nella fisica quantistica non c’è più la traiettoria, anche se le numerassi, dopo un certo tempo non potrei più distinguerle. C’è, quindi, un principio di indistinguibilità delle particelle identiche che è una conseguenza del principio di indeterminazione di Heisenberg. Le particelle identiche sono intrinsicamente indistinguibili.

Altre considerazioni sull’elettrone che attraversa due o più fenditure venne offerto da R. Feynman nel 1948 con l’integrale sui cammini. Se avessi un elettrone con due fenditure bisognerebbe sommare le due ampiezze di probabilità; se avessi tre fenditure dovrei sommarne tre; se l’elettrone dovesse fare n percorsi diversi (ad es. perché passa prima attraverso due fenditure e poi attraverso 3 fenditure) dovrei sommare le ampiezze di probabilità di tutti i possibili percorsi. Nella meccanica classica, un elettrone che va da un punto ad un altro in un certo intervallo di tempo segue una sua traiettoria di cammino di minima azione; nella meccanica quantistica l’elettrone segue tutti i possibili cammini; nella somma di questi cammini, ognuno di essi ha un certo peso a seconda di quanto vale l’azione su quel cammino.

Per gli oggetti macroscopici non c’è l’indeterminazione e segue la traiettoria che conosciamo. Possiamo ritrovare la meccanica classica a partire da quella quantistica facendo tendere (idealmente) a 0 la costante di Planck; in questo modo i cammini diversi da quello della meccanica classica si sommerebbero distruttivamente e rimarrebbe soltanto il cammino macroscopico che conosciamo.

Per gli oggetti microscopici invece, come l’elettrone, essi non seguono una sola traiettoria ma simultaneamente più traiettorie (sovrapposizione di stati) ognuna con un suo peso.

Prof. Vito Egidio Mosca

Imparare la Fisica