ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA

Per introdurre il concetto di energia potenziale elettrica bisogna ricordare il concetto di lavoro e lo faremo facendo riferimento al campo gravitazionale.

Si definisce lavoro L il prodotto scalare tra forza e spostamento:

L = F · s

Il prodotto scalare restituisce uno scalare L = F s cos α  dove α è l’angolo fra i due vettori.

Nel caso del campo gravitazionale F = m g e quindi nel caso di uno spostamento da un punto A ad altezza h_a ad un punto B di altezza h_b:

Il lavoro compiuto dalla forza peso è L = m g (h_a – h_b) => L = mg h_a – mg h_b.

Se questo stesso spostamento lo facessimo lungo un altro percorso ACDBPoiché lo spostamento lungo AC e DB è perpendicolare a m g, il suo contributo al lavoro è 0 e quindi il lavoro complessivo della forza peso è ancora L = mg h_a – mg h_b. Questo vuol dire che il lavoro della forza gravitazionale dipende soltanto dalla posizione iniziale e finale. Possiamo quindi introdurre una nuova grandezza che dipende soltanto dalla posizione e che chiamiamo energia potenziale gravitazionale U = mg h e perciò:

L = U_a – U_b => L = – ΔU

Consideriamo ora una carica Q positiva che genera un campo elettrico E radiale e di avere ad una distanza r_a una carica di prova q positiva. Supponiamo di tenere ferma Q e di spostare q da r_a ad una posizione r_bIn questo caso la forza coinvolta nel lavoro è la forza elettrica

F = qE

che è anch’essa radiale ed essendo parallela allo spostamento, il coseno dell’angolo è 1:

L = F (r_b – r_a) = K qQ(r_b – r_a)/r²

Facciamo la seguente approssimazione: r² = r_a r_b

L = K qQr_b /r_a r_b – K qQr_a/r_a r_b = K qQ /r_a – K qQ/ r_b

Anche in questo caso si dimostra che se invece di fare il percorso radiale da A a B facessi un qualunque altro percorso, l’effetto del prodotto scalare annullerebbe gli spostamenti ortogonali e troveremmo che il lavoro dipende soltanto dalla posizione iniziale e la posizione finale e cioè il campo elettrico è un campo conservativo. Quindi il lavoro del campo elettrico dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale. Possiamo definire l’energia potenziale elettrica in A come U_a = K qQ /r_a o, moltiplicando e dividendo per r_a, come U_a = q E r_a e perciò il lavoro è

L = U_a – U_b => L = – ΔU

In generale si definisce energia potenziale elettrica la quantità:

U = q E r + c

U = K qQ /r + c

dove c è una costante arbitraria (che esce fuori da un concetto di integrale non utilizzato in questa dimostrazione).

Per convenzione si prende l’energia potenziale all’infinito uguale a zero:

U(r → +∞) = 0 e poiché per r → +∞, K qQ /r → 0, si ha c = 0.

Perciò si definisce energia potenziale:

U = q E r

U = K qQ /r 

dove quest’ultima rappresenta l’energia potenziale di una carica di prova q posta ad una distanza r dalla carica puntiforme Q che genera il campo elettrico E.

L’energia potenziale rappresenta il lavoro che la forza elettrica compie per portare una carica di prova q dall’infinito fino ad una distanza r (indipendentemente dalla traiettoria utilizzata).

Poiché le forza gravitazionale ed elettrica sono conservative, vale il principio di conservazione dell’energia:

E_c + U_g + U_e = costante

½ m v² + mgh + K qQ/r = costante

Prof. Vito Egidio Mosca

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