LEGGE DELLE VELOCITÀ DI UN OSCILLATORE ARMONICO

Consideriamo un sistema massa molla in posizione di equilibrio e allunghiamo la molla di un’ampiezza A:

In questa posizione (la massa m è ferma) l’energia totale del sistema è semplicemente l’energia potenziale elastica:

E_T = U_E = ½ k A²

Se si lascia andare la massa, essa passerà dalla posizione di equilibrio (origine degli assi) con velocità massima e l’energia in quel punto sarà soltanto cinetica:

E_T = E_c = ½ m v²_max

Per il principio di conservazione dell’energia:

½ k A²= ½ m v²_max

Perciò

v_max = √(k/m) A

v_max = ω A

Attenzione: questa relazione vale solo per la velocità massima!

Quando la massa si trova in una posizione generica tra 0 e A, il principio di conservazione dell’energia diventa:

½ k A² = ½ m v² + ½ k x²

Da cui si ricava la velocità:

v = √[(k/m) (A² – x²)]

Ricordando che x = A cos(ω t)

v = √[(k/m) A² (1 – cos²(ω t))] = √[ω² A² (sin²(ω t))] =>

v = – ω A sin(ω t)

Il segno meno è dovuto al fatto che il vettore velocità ha verso opposto rispetto al sistema di riferimento:

Ricordando che in un moto armonico

a = -ω² x

x = A cos(ω t)

si ottiene la legge dell’accelerazione di un oscillatore armonico:

a = – ω² A cos(ω t)

Prof. Vito Egidio Mosca

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