MOTO ARMONICO
Consideriamo una circonferenza di diamento AB, un punto P su di essa e facciamo ruotare tale punto sulla circonferenza di moto circolare uniforme come nel seguente video:
Il moto armonico semplice (o moto armonico) è il moto della proiezione del punto P sul diametro AB; in pratica si tratta del moto del punto Q come nel seguente video:
DEFINIZIONE: il moto armonico è il moto della proiezione su un diametro di un moto circolare uniforme.
Mentre il punto P percorre la circonferenza, il punto Q oscilla da A a B e viceversa. La massima distanza di Q dal centro di oscillazione O si chiama ampiezza del moto. I punti A e B sono gli estremi dell’oscillazione. La distanza generica del punto Q da O si chiama elongazione, quindi l’ampiezza del moto non è altro che l’elongazione massima.
Dal video precedente si comprende bene che il moto armonico è un moto periodico, cioè dopo un certo intervallo di tempo il punto Q si ripresenta con le stesse caratteristiche. Possiamo quindi dare la seguente definizione:
DEFINIZIONE: il periodo è il tempo di un’oscillazione completa cioè è la durata per andare da A a B e ritornare in A.
Dal video precedente possiamo notare che nel tempo impiegato dal punto P a percorre un giro completo, il punto Q compie un’oscillazione completa. Possiamo quindi affermare che il periodo del moto armonico è lo stesso del periodo del moto circolare uniforme.
Abbiamo quindi compreso che il moto circolare uniforme e il moto armonico sono strettamente legati tra di loro. Vediamo come vengono chiamate le grandezze caratteristiche:
- nel moto circolare uniforme: T è il periodo e ω è la velocità angolare;
- nel moto armonico: T è il periodo e ω è la pulsazione:
Il legame tra il periodo di un moto armonico e la sua pulsazione è:
EQUAZIONE ORARIA DEL MOTO ARMONICO
Per trovare l’equazione oraria, consideriamo la seguente figura dove indichiamo con x l’elongazione del moto armonico (distanza OQ) in un instante di tempo t e con R il raggio della circonferenza (distanza OP):
Poiché il triangolo OPQ è un triangolo rettangolo, l’equazione oraria del moto armonico è data da:
x = R cos ωt
il cui grafico (diagramma orario) è il seguente:
Il moto di Q è il seguente:
- all’istante iniziale (t=0) il punto Q si trova nell’estremo A;
- a metà periodo il punto Q si trova all’estremo B;
- al periodo T il punto Q è ritornato nell’estremo A;
- tutte le intersezioni con gli assi rappresentano il passaggio di Q dal centro di oscillazione O.
Dal video precedente possiamo inoltre fare le seguenti osservazioni
- la velocità di Q varia (non è costante):
- negli estremi A e B è 0 (nulla);
- quando passa per il centro O è massima;
-
v = – ωR sin ωt
- l’accelerazione di Q varia (non è costante):
- negli estremi A e B è massima;
- quando passa per il centro O è 0 (nulla);
-
a = – ω2 x.
OSCILLAZIONE DI UNA MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA
L’esempio classico di moto armonico è l’oscillazione di una massa attaccata ad una molla. Se tiro la massa ed allungo la molla di una lunghezza A, la molla eserciterà una forza di richiamo (data dalla legge di Hooke) pari a F = – k x che è direttamente proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio.
Sappiamo che x = R cos ωt che nel nostro caso diventa:
Inoltre sappiamo che
a = – ω2 x => a = – ω2 A cos(ωt)
e che la forza elastica F = – k x produce sulla massa m un’accelerazione a:
m a = – k x
Sostituendo:
– m ω2 A cos(ωt) = – k A cos(ωt) => m ω2 = k =>
ed essendo il perio T = 2π / ω:
Ponendo l’attenzione sulle ombre delle palline del seguente video si può osservare che si tratta sempre dello stesso moto e cioè di un moto armonico:
