PENDOLO SEMPLICE
Un pendolo semplice è composto da un punto materiale (una massa m) attaccato ad un filo inestensibile di massa trascurabile vincolato a un punto fisso (centro di sospensione). Spostiamo questa massa dalla sua posizione di equilibrio (la forza peso è equilibrata dalla tensione della fune) e lasciamola libera di muoversi: essa comincerà ad oscillare come nel seguente video:
Le forze che agiscono sulla massa m sono la forza peso P = mg e la tensione della fune T. La forza tangenziale che agisce su m è soltanto la componente tangenziale (alla traiettoria) della forza peso che chiameremo F = m at dove at è l’accelerazione tangenziale:
Tale forza F è sempre rivolta verso il centro delle oscillazioni, è massima agli estremi e nulla al centro di oscillazione, quindi F è una forza di richiamo.
Indichiamo con l la lunghezza della corda OP e consideriamo i triangoli OPQ e SPR della figura precedente, essi sono simili; perciò possiamo scrivere la seguente proporzione:
PR : PQ = PS : OP
cioè
F : d = mg : l
e dalla precedente si ricava che:
F = d m g / l
Poiché F = m at , sostituendo nella precendente si trova che:
at = gd / l
Per piccole oscillazioni (rispetto alla lunghezza l della corda), la distanza d può essere approssimata con l’arco AP che indichiamo con s e l’accelerazione tangenziale diventa:
Il segno meno è dovuto al fatto che si tratta di una forza di richiamo (in analogia alle legge di Hooke).
Osserviamo che l’accelerazione (e quindi anche la forza F = m at) è direttamente proporzionale allo spostamento proprio come per un moto armonico semplice. Se confrontiamo la forza F di richiamo del pendolo e la forza di richiamo di una massa appesa ad una molla:
Ponendo k = mg/l in analogia a quanto fatto per la massa appesa ad una molla il periodo T del pendolo, per piccole oscillazioni, diventa:
e
OSSERVAZIONI:
- legge dell’isocronismo (stesso tempo) delle piccole oscillazioni (di Galileo): per piccole oscillazioni, T è indipendente dall’ampiezza delle oscillazioni; perciò le piccole oscillazioni avvengono in tempi uguali indipendentemente da quanto si sia spostato inizialmente la massa appesa al pendolo dalla posizione di equilibrio. Galilelo, nel 1581, osservando i movimenti di un lampadario nella cattedrale di Pisa constato e poi verificò sperimentalmente tale legge;
- il periodo è indipendente dalla massa del pendolo: nell’espressione di T non compare la m e quindi pendoli con masse diverse, a parità di lunghezza l, misureranno lo stesso periodo T;
- il periodo è direttamente proporzionale alla radice quadrata della lunghezza ed inversamente proporzionale alla radice quadrata dell’accelerazione di gravità: il periodo misurato sulla Luna sarà diverso da quello misurato sulla Terra.
Il video è stato realizzato grazie alla simulazione messa a disposizione da:
PhET Interactive Simulations
University of Colorado Boulder
http://phet.colorado.edu
