EQUAZIONI DIFFERENZIALI (introduzione)
Consideriamo un oggetto che viene lanciato verso il basso con velocità iniziale v0 da una posizione iniziale s0; esso accelererà con accelerazione g = 9,81 m/s2.
Vogliamo determinare le leggi che regolano tale moto uniformemente accelerato.
L’accelerazione è la variazione della velocità rispetto al tempo (derivata della velocità rispetto al tempo):
g = dv/dt
Tale equazione dv/dt = g è un esempio di equazione differenziale (vi è la derivata prima dell’incognita ed un parametro g). Per risolvere quest’equazione dobbiamo separare le variabili (velocità e tempo)
dv = g dt
integriamo entrambi i membri
∫ dv = ∫ g dt => v(t) = g t + C1
v(t) = g t + C1 è una soluzione generale dell’integrale. Per determinare la soluzione particolare, cioè per determinare C1, si utilizzano le condizioni iniziale: per t = 0 si ha v(0)= v0
v0 = v(0) = g 0 + C1 => C1 = v0
v(t) = g t + v0
Sappiamo anche che la velocità è la variazione dello spazio percorso rispetto al tempo (derivata dello spazio rispetto al tempo):
v = ds/dt
Tramite le ultime due relazioni:
ds/dt = g t + v0
Tale equazione ds/dt = g t + v0 è un esempio di equazione differenziale (vi è la derivata prima dell’incognita, la variabile indipendente t ed un parametro v0). Per risolvere quest’equazione dobbiamo separare le variabili (spazio e tempo):
ds = (g t + v0) dt
integriamo entrambi i membri:
∫ ds = ∫(g t + v0) dt => s(t) = 1/2 g t2 + v0 t + C2
C2 si ottiene tramite le condizioni iniziale e cioè per t = 0 => s(0) = s0
s0 = s(0) = 1/2 g 02 + v0 0 + C2 => C2 = s0
s(t) = 1/2 g t2 + v0 t + s0
Le due relazioni ottenute sono quindi
s(t) = s0 + v0 t + 1/2 g t2
v(t) = v0 + g t
Prof. Vito Egidio Mosca
