CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN GUSCIO SFERICO CARICO

Consideriamo una carica Q distribuita, in maniera uniforme, su un guscio sferico (superficie sferica) di raggio R e centro O.

Poiché la carica è distribuita in maniera simmetrica, il corrispondente campo deve avere lo stesso valore (modulo) in tutti i punti equidistanti dal centro; deve, inoltre, essere radiale altrimenti esisterebbe una direzione privilegiata che è in contrasto con la simmetria della distribuzione.

Consideriamo una superficie sferica concentrica in O di raggio r > R

Se considero una piccola superficie ΔS e il campo elettrico E, i due vettori sono paralleli (stessa direzione e stesso verso) e il flusso ΔΦ(E) = E ΔS. Il flusso totale è dato dalla somma di tutte queste quantità:

Φ_S(E) = ∑_i ΔΦ(E)_i = ∑_i (E ΔS_i)

Essendo il modulo di E costante (perché r è costante):

Φ_S(E) = E ∑_i (ΔS_i) = E 4πr² =>

=> Φ_S(E) = E 4πr²

Dal teorema di Gauss sappiamo che

Φ_S(E) = Q_{TOT INT}/ε₀

Poiché la carica totale interna alla superficie S è Q:

 Φ_S(E) = Q/ε₀

Quindi:

E 4πr² = Q/ε₀

Quindi:

E = 1/(4πε₀) · Q/r²

che è esattamente lo stesso campo generato da una carica puntiforme posta nel centro O della superficie sferica. Ogni volta che si ha una distribuzione uniforme sferica di carica, è come se tutta la carica fosse concentrata nel suo centro.

Consideriamo ora una superficie sferica concentrica in O di raggio r < R

Se internamente ci fosse un campo E_INT, esso sarebbe radiale e otterremmo, come prima:

Φ_S(E) = E_INT 4πr²

Per il teorema di Gauss:

Φ_S(E) = Q_{TOT INT}/ε₀

In questo caso, però, la carica interna alla superficie S è 0, quindi Φ_S(E) = 0:

E_INT 4πr² = 0 => E_INT = 0

OSSERVAZIONE: le varie cariche presenti sulla superficie generano internamente un campo elettrico ma la somma di tutti questi campi è zero! Tale risultato è indipendente dalla posizione interna alla sfera (quest’ultimo concetto l’abbiamo anche già visto quando abbiamo visto il pozzo di Faraday).

La discontinuità del campo elettrico attraversa la superficie carica è:

ΔE = E_EST – E_INT = 1/(4πε₀) · Q/R² – 0 => ΔE = 1/(4πε₀) · Q/R²

Poiché la densità superficiale di carica è σ = Q/(4πR²):

ΔE = σ/ε₀

Tale valore è indipendente dalla superficie utilizzata che può essere di forma qualsiasi.

Prof. Vito Egidio Mosca

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