Equazioni differenziali del secondo ordine
In quest’articolo vedremo le equazioni differenziali del secondo ordine:
F(x; y; y’, y”) = 0
In particolare vedremo le equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti, cioè quelle che si presentano nella forma:
y” + a y’ + b y = p(x)
con a e b costanti, mentre p(x) è il termine noto (funzione continua in un determinato intervallo).
Tale equazione differenziale del secondo ordine può essere:
- omogenea, se p(x) = 0;
- completa, se p(x) ≠ 0.
Soluzione di un’equazione differenziale del secondo ordine omogenea:
y” + a y’ + b y = 0
Poniamo y = ezx (con z costante), calcoliamo la derivata prima y’ = z ezx, la derivata seconda y” = z2 ezx e verifichiamo se tale funzione può o meno essere una soluzione (sostituiamo nell’equazione differenziale):
z2 ezx + a z ezx + b ezx = 0 =>
raccogliamo a fattor comune ezx
=> (z2 + a z + b) ezx = 0 =>
poiché l’esponenziale è diverso da zero
=> z2 + a z + b = 0
detta equazione caratteristica dell’equazione differenziale.
Si calcola il Δ di quest’equazione di secondo grado:
- se Δ > 0, dette z1 e z2 le soluzioni dell’equazione di secondo grado, la soluzione dell’equazione differenziale è: y = c1 ez1x + c2 ez2x (con c1 e c2 due costanti arbitrarie);
- se Δ = 0, le soluzioni dell’equazione di secondo grado saranno coincidenti z1 = z2, la soluzione dell’equazione differenziale è: y = c1 ez1x + c2 x ez1x (con c1 e c2 due costanti arbitrarie); cioè y = (c1 + c2 x) ez1x;
- se Δ < 0, le soluzioni dell’equazione di secondo grado saranno complesse e coniugate α ± iβ, la soluzione dell’equazione differenziale è: y = c1 eαxcos(βx) + c2 eαx sin(βx) (con c1 e c2 due costanti arbitrarie); cioè y = [c1 cos(βx) + c2 sin(βx)] eαx
Per determinare c1 e c2 è necessario avere 2 condizioni iniziali.
Soluzione di un’equazione differenziale del secondo ordine completa:
y” + a y’ + b y = p(x)
Si determina prima la soluzione generale della corrispondente equazione differenziale del secondo ordine omogenea: y” + a y’ + b y = 0. A tale soluzione si aggiunge poi una soluzione particolare dell’equazione differenziale del secondo ordine completa.
Se p(x) è un polinomio di grado n allora, l’integrale particolare q(x) sarà anch’esso un polinomio. Se
- b ≠ 0 il grado dell’integrale particolare sarà n;
- b = 0 e a ≠ 0 il grado dell’integrale particolare sarà n + 1;
- b = 0 e a = 0 il grado dell’integrale particolare sarà n + 2.
ESEMPIO: y” + 4y’ = x
p(x) = x ed è di primo grado; b = 0 e a ≠ 0 il grado dell’integrale particolare sarà 1 + 1 = 2. Scriviamo il generico polinomio q(x) = ax2 + bx + c; essendo una soluzione particolare, deve soddisfare l’equazione differenziale. Calcolo la derivata prima e la derivata seconda:
q’ = 2ax + b; q” = 2a
Sostituiamo nell’equazione differenziale:
2a + 4 (2ax + b) = x => 8ax + (2a + 4b) = x
Confrontando il polinomio al primo e al secondo membro, deve risultare:
8a = 1
2a + 4b = 0 => a + 2b = 0
Quindi
a = 1/8
1/8 + 2b = 0 => b = -1/16
Perciò l’integrale particolare sarà:
q(x) = 1/8 x2 -1/16 x + c
Tale soluzione andrà sommata all’integrale generale dell’equazione differenziale omogenea associata.
Se p(x) è del tipo: p(x) = A eαx (A, α Reali)
si risolve l’equazione caratteristica dell’equazione omogenea z2 + a z + b = 0 e
- se α non coincide con nessuna delle soluzioni dell’equazione caratteristica allora l’integrale particolare q(x) sarà del tipo q(x) = B eαx con B costante da determinare;
- se α coincide con una delle soluzioni distinte dell’equazione caratteristica allora l’integrale particolare q(x) sarà del tipo q(x) = B x eαx con B costante da determinare;
- se α coincide con una radice doppia dell’equazione caratteristica allora l’integrale particolare q(x) sarà del tipo q(x) = B x2 eαx con B costante da determinare.
Per determinare B, in tutti e tre i casi, q(x) deve verificare l’equazione differenziale completa: si determina q’, q”, si sostituiscono nell’equazione completa e si determina B.
Se p(x) è del tipo: p(x) = C sin(βx) + D cos(βx) (C, D, β Reali)
- se (i β) non è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione omogenea associata z2 + a z + b = 0, l’integrale particolare è q(x) = A sin(βx) + B cos(βx) con A e B costanti da determinare;
- se (i β) è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione omogenea associata z2 + a z + b = 0, l’integrale particolare è q(x) = x(A sin(βx) + B cos(βx)) con A e B costanti da determinare;
Per determinare A e B, in tutti e due i casi, q(x) deve verificare l’equazione differenziale completa: si determina q’, q”, si sostituiscono nell’equazione completa e si determina B.
SINTESI: SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE OMOGENEA
y” + a y’ + b y = 0 => z2 + a z + b = 0
- se Δ > 0, y = c1 ez1x + c2 ez2x;
- se Δ = 0, y = (c1 + c2 x) ez1x;
- se Δ < 0, y = [c1 cos(βx) + c2 sin(βx)] eαx
