MODELLO DELL’ATOMO DI BOHR

Nel 1913 N. Bohr propose delle ipotesi di miglioramento del modello planetario di Rutherford in modo da rendere stabile la rotazione dell’elettrone intorno al nucleo e in modo da spiegare la posizione delle righe spettrali osservate nello spettro di emissione e assorbimento degli atomi. Le tre ipotesi su cui si basa il modello dell’atomo di Bohr sono:

1. stabilità delle orbite: gli elettroni ruotano intorno al nucleo su orbite stabili in quanto la forza di attrazione di Coulomb è uguale alla forza centripeta

   F_coulomb = F_centripeta => k e² / r² = m v² / r

   in modo simile alla stabilità delle orbite dei pianeti; dalla precedente ricaviamo che:

   m v² r = k e²

   inoltre l’elettrone su tali orbite non emette radiazioni (il motivo di questa non emissione di radiazioni non viene spiegata da Bohr);

2. quantizzazione del momento angolare: tra le orbite stabili, sono consentite solo quelle (circolari di raggio r) che hanno il momento angolare (L = p r = mv r) uguale a un multiplo intero della costante di Planck ħ: mvr = nħ con n = 1, 2, 3 … ; tale ipotesi di quantizzazione del momento angolare venne meglio chiarita nel 1923 quando si comprese con De Broglie che l’elettrone aveva anche un comportamento ondulatorio oltre che corpuscolare; riassumiamo le varie informazioni:

   1. p = mv;

   2. (impulso di un fotone: Einstein) ;

   3. mvr = nħ (quantizzazione del momento angolare).

Dalla 1 e 3 sappiamo che:

p r = n ħ => p = n ħ / r

e uguagliando il secondo membro con quello in 2 abbiamo che

n ħ / r = 2π ħ /λ

semplificando ħ è possibile ricavare che

2π r = n λ

cioè la condizione di quantizzazione del momento angolare corrisponde al fatto che la circonferenza dell’orbita dell’elettrone (2πr) deve essere pari a un numero intero della lunghezza d’onda (nλ) cioè, per avere un’onda stazionaria che non irradia, nell’orbita deve entrare un numero intero di volte la lunghezza d’onda;

3. transizione tra due orbite con emissione o assorbimento: essendo previste in tale modello soltanto alcune orbite, quando gli elettroni saltano da un’orbita permessa ad un’altra assorbono o emettono radiazioni elettromagnetiche (fotoni) di energia ben precise E = ħ ω pari alla differenza di energia tra le due orbite consentite in modo da mantenere la conservazione di energia. Quindi non tutte le righe di emissione o di assorbimento sono permesse ma lo sono soltanto quelle che corrispondono al passaggio dell’elettrone da un’orbita consentita ad un’altra.

In particolare, dall’equazione di stabilità dell’orbita (m v²r = k e²) e dalla quantizzazione del momento angolare (mvr = nħ => v = n ħ / (m r)) si può ricavare il raggio (sostituendo v = n ħ / (m r) in m v²r = k e²) e la velocità dell’elettrone nell’orbita (rispetto alla velocità c della luce):

r = n² ħ²/ (m k e²) => r = n² r₁  con r₁ = ħ² /(m k e²) = 5,29 · 10‾¹¹ m = raggio di Bohr;

Sostituendo tale r in v = n ħ / (m r):

v = k e² / (n ħ) => v / c = k e² / (n ħ c) =>v / c = α / n

dove α = k e² / (ħ c) = 1/137 che è detta costante di struttura fine (numero puro);

ricordiamo che n = 1 (per la prima orb22ita), 2 (per la seconda orbita), 3 … , quindi per un elettrone dell’atomo di idrogeno nell’orbita più vicina al nucleo (n = 1) il raggio della sua orbita è di circa 0,53 · 10^–8 cm e la sua velocità è di circa 1/137 volte la velocità c della luce.

Con il modello dell’atomo di Bohr riusciamo quindi a fare tre previsioni:

1. il raggio dell’orbita su cui si muove l’elettrone;

2. la velocità con cui si muove l’elettrone nella sua orbita;

3. l’energia dell’orbita (serve per calcolare gli spettri di emissione/assorbimento che dipendono dalla differenza di energia tra due orbite).

L’energia di un’orbita è sostanzialmente la somma di un’energia cinetica (E_c = 1/2 m v²) e di un’energia potenziale (E_p = – k e²/r); ricordando la condizione di stabilità dell’orbita mv²r = k e², è possibile ricavare k e²/r = mv². Perciò l’energia potenziale diventa E_p = – mv² e quindi l’energia totale non è altro che:

E_t = E_c + E_p = 1/2 m v² – m v² = – 1/2 m v²

Ricordando la velocità dell’elettrone nell’orbita v/c = α/n, si può ricavare v² = α²c² /n² e sostituendo si ottiene:

E_t = – m c² α²/(2n²) => E_t = – R/n² con R = 1/2 mc²α² = 13,6 eV nota come costante di Rydberg

dove mc² è l’energia a riposo dell’elettrone e α² = 1/137².

Quindi l’orbita più piccola (n = 1) ha un’energia di circa –13,6 eV che corrisponde all’energia che devo fornire all’atomo di idrogeno per sottrargli l’elettrone e ionizzarlo.

Notiamo che ricompare nuovamente la dipendenza da un numero intero n; in particolare quando si calcolano le energie dei fotoni emessi/assorbiti nel passaggio da un’orbita consentita m ad un’altra n si ha che l’energia del fotone ħω = h ω/2π e ricordando che ω = 2π/T = 2π c/λ si ha che ħω = h c/λ. Tale energia sarà uguale alla differenza fra l’energia dell’orbita n ed m per cui risulta:

ħω = h c/λ = E_n – E_m = – R/n² – (–R/m²) = R (1/m² – 1/n²)

Quindi nel passaggio da un’orbita più esterna ad una più interna verrà liberato un fotone con energia che è pari alla differenza dell’inverso di quadrati di due numeri interi; per passare da un’orbita più vicino al nucleo ad una più esterna, si dovrà fornire un’energia data dalla formula precedente che è in accordo con i dati sperimentali e con la formula di Rydberg.

Prof. Vito Egidio Mosca

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