DISTRIBUZIONE LINEARE DI CARICA

Consideriamo una carica Q distribuita uniformemente su una linea infinitamente lunga. In un punto P distante r dal filo, per ogni carica sopra la perpendicolare esiste una corrispondente carica sotto la perpendicolare per cui le componenti del campo elettrico verticali si annullano

Per questioni di simmetria, il campo elettrico E è radiale in ogni punto P esterno:

Considero una superficie a forma di cilindro di altezza h e calcoliamo il flusso:

Φ_S(E) = ∑_i ΔΦ(E)_i = ∑_i (E · ΔS_i)

Essendo E radiale, il vettore superficie di ognuna delle due basi è perpendicolare al campo E e quindi il flusso attraverso le due basi è zero:

Φ_S(E) = ∑_i (E ΔS_i)

Essendo il modulo di E costante (perché r è costante):

Φ_S(E) = E ∑_i (ΔS_i) =>

Si noti che, non essendoci il flusso attraverso le due basi del cilindro, la somma di tutte le superfici si riferisce soltanto alla superficie laterale (di un cilindro di raggio r ed altezza h)

=> Φ_S(E) = E 2πr h =>

Dal teorema di Gauss sappiamo che

Φ_S(E) = Q_{TOT INT}/ε₀

Poiché la densità lineare di carica è data da

λ = Q/h

Q_{TOT INT} = λ h

Perciò dal teorema di Gauss:

Φ_S(E) = λ h/ε₀

Uguagliando i due flussi:

E 2πr h = λ h/ε₀

E = λ / (2πε₀ r)

Il campo E è radiale (rispetto al filo) ed è uscente dal filo per λ >o ed entrante nel filo per λ < 0.

Prof. Vito Egidio Mosca

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