EQUAZIONE DI CONTINUITÀ

Quando apriamo un rubinetto d’acqua ci accorgiamo che l’acqua esce con una certa velocità attraverso una determinata sezione e poi, man mano che cade, acquista velocità e la sua sezione diminuisce

Tale particolare fenomeno è spiegabile tramite l’equazione di continuità.

Consideriamo un tubo di sezione A attraverso il quale scorre un fluido con flusso stazionario, si definisce:

1. portata (o portata volumetrica) Q_V il rapporto tra il volume ΔV di fluido che attraversa la sezione e il tempo Δt impiegato per attraversarla Q_V = ΔV/Δt;
2. portata di massa Q_m il rapporto tra la mass Δm di fluido che attraversa la sezione e il tempo Δt impiegato per attraversarla Q_m = Δm/Δt.

Che relazione c’è tra le due portate?

Q_m = Δm/Δt

ma ρ = m/V => m = ρV

Q_m = Δ(ρV)/Δt = ρ Δ(V)/Δt = ρ Q_V

Quindi: 

Q_m = ρ Q_V

Consideriamo ora un fluido con flusso stazionario che entra nella sezione A₁ ed esce dalla sezione A₂

Per determinare la forma generale dell’equazione di continuità, consideriamo un fluido di densità ρ₁ che entra nella sezione A₁ ed un fluido di densità ρ₂ che esce dalla sezione A₂ tramite un flusso stazionario di un liquido incomprimibile (tale situazione equivale anche ad un unico fluido con flusso stazionario ma comprimibile). La portata di massa che attraversa la sezione 1 deve essere la stessa che attraversa la sezione 2 nello stesso intervallo di tempo Δt:

Q_m1 = Q_m2 => Δm₁/Δt = Δm₂/Δt => Δm₁ = Δm₂

ma ρ = m/V => m = ρV

Δ(ρ₁V₁) = Δ(ρ₂V₂) => ρ₁ΔV₁ = ρ₂ΔV₂

Il volume ΔV non è altro che area di base A per altezza s:

ΔV₁ = A₁ s₁ = A₁ v₁ Δt

ΔV₂ = A₂ s₂ = A₂ v₂ Δt

Perciò:

ρ₁ A₁ v₁ Δt = ρ₂ A₂ v₂ Δt

Da cui si ottiene l’equazione di continuità:

ρ₁ A₁ v₁ = ρ₂ A₂ v₂

Nel caso particolare in cui il liquido di entrata e di uscita è lo stesso (ρ₁ = ρ₂):

A₁ v₁ = A₂ v₂

cioè il prodotto tra la sezione e la velocità del fluido è costante oppure la sezione e la velocità sono inversamente proporzionali. Nel caso dell’acqua che esce dal rubinetto di sezione A₁ e velocità v₁, quando l’acqua acquista velocità nella caduta, v₂ aumenta e di conseguenza A₂ deve diminuire. Se l’altezza lo consente, la sezione diventa così sottile fino a spezzarsi e formare delle goccioline di fluido.

Prof. Vito Egidio Mosca

Imparare la Fisica