Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell

Maxwell sintetizzò tutte le conoscenze sul campo elettrico e magnetico note fino ai suoi tempi con le quattro equazioni di Maxwell che descrivono in modo completo la teoria dell’elettromagnetismo. Le equazioni di Maxwell descrivono come il campo elettrico E ed il campo magnetico B sono legati alle loro sorgenti e come interagiscono tra di loro. Prima di vedere queste equazioni, ricordiamo che, in generale, un campo vettoriale è determinato quando è noto il flusso e la circuitazione:

• il flusso ci dice come varia il campo in un intorno di un punto ed è collegato alle sorgenti e alle linee di forza;
  
• la circuitazione ci dice come il campo si avvolge intorno ad un punto.

Le quattro equazioni di Maxwell sono dunque le seguenti:

1. TEOREMA DI GAUSS (PER IL CAMPO ELETTRICO): il flusso Φ del campo elettrico attraverso una superficie chiusa nel vuoto è il rapporto tra la somma algebrica delle cariche interne Q_in (Q_in = ∑_i Q_i) e la costante dielettrica del vuoto ε₀: Φ(E) = Q_in /ε₀; ciò significa che sono le cariche a generare il campo elettrico che poi esce o entra nella zona in cui vi sono le cariche;
   
2. TEOREMA DI GAUSS PER IL MAGNETISMO: il flusso Φ del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre 0 (infatti, le linee di campo di B sono chiuse): Φ(B) = 0; ciò significa che in natura non è possibile isolare un monopolo magnetico cioè non è possibile avere solo un polo nord o solo un polo sud come per una sola carica positiva o una sola carica negativa per il campo elettrico;
   
3. LEGGE DI AMPERE: la circuitazione del campo magnetico lungo una qualsiasi linea chiusa è uguale al prodotto tra la permeabilità magnetica del vuoto μ₀ e la somma algebrica i_c delle correnti concatenate alla linea chiusa stessa (cioè la corrente elettrica è sorgente di campi magnetici): 
4. LEGGE DI FARADAY-NEUMANN-LENZ: ricordando chela legge afferma che la circuitazione del campo elettrico E è uguale alla derivata del flusso di B rispetto al tempo cambiata di segno:

Cioè se ho una variazione del flusso del campo B viene generato un campo E indotto la cui circuitazione di E soddisfa la precedente equazione (essendo la circuitazione diversa da 0, vuol dire che il campo elettrico indotto non è conservativo).

La circuitazione del campo elettrico ci dice dunque che non sono solo le cariche a generare il campo elettrico ma anche i campi magnetici con un flusso variabile nel tempo, senza la presenza di cariche elettriche.

La legge di Ampere

porta però ad un paradosso. Se considero un condensatore ideale a facce piane e parallele collegato ad un generatore che si sta caricando

la corrente i circola nel filo di destra, circola nel filo di sinistra ma non tra le due armature dove si sta accumulando, con il tempo, una carica positiva q(t) sull’armatura di destra e una carica negativa sull’armatura di sinistra che varia con il tempo e quindi tra le armature ci sarà un campo elettrico variabile con il tempo E(t).

La corrente i genera un campo magnetico B; tale campo magnetico B dovrebbe improvvisamente annullarsi tra le armature.

Inoltre, se considero la circuitazione del campo B lungo una linea chiusa γ (ad esempio la circonferenza grigio scuro) come in figura:

dalla legge di Ampere avrei:

dove la corrente concatenata è la corrente che attraversa una qualsiasi superficie avente la linea chiusa γ come contorno; in questo caso abbiamo considerato come superficie un semplice cerchio avente come linea chiusa la circonferenza γ.

Se però, considerassi la seguente superficie (è come se fosse un bicchiere con all’interno un’armatura del condensatore):

la corrente concatenata sarebbe 0. Cioè la circuitazione lungo la stessa linea chiusa γ una volta vale μ₀i ed una volta vale 0.

Tali contraddizioni portarono Maxwell ad ipotizzare la presenza di qualcosa all’interno del condensatore che potesse ovviare a tutto ciò. A tale scopo, se si considera una superficie come in figura con bordo lungo γ:

il teorema di Gauss afferma che il flusso del campo è Φ(E) = Q/ε₀; il flusso è dovuto a quello del campo E attraverso la superficie S di sinistra: Φ(E) = E · S = Q/ε₀. Poiché il campo E varia nel tempo avremo un flusso variabile nel tempo:

Quindi

ha le dimensioni di una corrente. Maxwell ipotizzò quindi che tra le due facce del condensatore ci doveva essere una corrente che chiamò corrente di spostamento che è uguale alla corrente che circola nel circuito:

Maxwell modificò la legge di Ampere in quella che è nota come legge di Ampere-Maxwell:

Ritornando all’esempio della curva γ, nel caso del cerchio come superficie, non c’è la variazione del campo elettrico e quindi ritorniamo alla legge di Ampere, nel caso della superficie a bicchiere non c’è corrente concatenata ma c’è la corrente di spostamento dovuto al campo elettrico variabile.

Dalla legge di Ampere Maxwell deduciamo che non sono solo le correnti ad essere sorgenti di campi magnetici ma lo sono anche i campi elettrici con un flusso variabile nel tempo (anche in assenza di correnti).

In questo modo c’è simmetria tra la variazione di E con la variazione di B della legge di Faraday:

Quindi una variazione del campo elettrico produce un campo magnetico e una variazione del campo magnetico produce un campo elettrico.

In definitiva, le quattro equazioni di Maxwell sono:

1. TEOREMA DI GAUSS (PER IL CAMPO ELETTRICO): Φ(E) = Q_in /ε₀;
2. TEOREMA DI GAUSS PER IL MAGNETISMO: Φ(B) = 0;
3. LEGGE DI AMPERE-MAXWELL:
4. LEGGE DI FARADAY-NEUMANN-LENZ:
   

In genere si è soliti dire che il campo elettrico e il campo magnetico sono due aspetti dello stesso fenomeno, il campo elettromagnetico.

Prof. Vito Egidio Mosca

Imparare la Fisica